Bài 11. Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Đề bài

a) Vẽ tam giác ABC vuông tại A, \(AB = 3cm,AC = 4cm\). Tính BC, sinB, cosB.

b) Vẽ tam giác MNP vuông tại M, \(MN = 6cm,MP = 8cm\). Hỏi hai tam giác ABC, MNP có đồng dạng không? Tính sinN, cosN.

Lời giải chi tiết

a) 

 

Tam giác ABC vuông tại A nên

+ \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25\) (định lí Pythagore), suy ra \(BC = 5cm\).

+ \(\sin B = \frac{{AC}}{{CB}} = \frac{4}{5},cosB = \frac{{AB}}{{CB}} = \frac{3}{5}\).

b) Tam giác MNP và tam giác ABC có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{MP}}{{AC}}\left( { = 2} \right)\) và \(\widehat A = \widehat M = {90^o}\) nên \(\Delta MNP \backsim \Delta ABC (c.g.c)\)

Do đó, \(\sin N = \sin B = \frac{4}{5};\cos N = \cos B = \frac{3}{5}\).

Đề bài

a) Chứng minh rằng với mọi góc nhọn \(\alpha  < {45^o}\), ta có

\(\sin \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \cos \left( {{{45}^o} + \alpha } \right),\cos \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \sin \left( {{{45}^o} + \alpha } \right)\)

b) Không dùng MTCT, tính

\(\sin {25^o} + \sin {35^o} + \sin {45^o} - \cos {45^o} - \cos {55^o} - \cos {65^o}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+ \(\sin \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \cos \left[ {{{90}^o} - \left( {{{45}^o} - \alpha } \right)} \right] = \cos \left( {{{45}^o} + \alpha } \right)\)

+ \(\cos \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \sin \left[ {{{90}^o} - \left( {{{45}^o} - \alpha } \right)} \right] = \sin \left( {{{45}^o} + \alpha } \right)\)

b) Ta có:

\(\sin {25^o} + \sin {35^o} + \sin {45^o} - \cos {45^o} - \cos {55^o} - \cos {65^o}\)

\( = \cos \left( {{{90}^o} - {{25}^o}} \right) + \cos \left( {{{90}^o} - {{35}^o}} \right) + \cos \left( {{{90}^o} - {{45}^o}} \right) - \cos {45^o} - \cos {55^o} - \cos {65^o}\)

\( = \cos {45^o} + \cos {55^o} + \cos {65^o} - \cos {45^o} - \cos {55^o} - \cos {65^o} = 0\)

Đề bài

Khi góc \(\alpha \) lần lượt bằng \({10^o}{,20^o}{,30^o}{,40^o}\), hãy dùng MTCT tính \(\sin \alpha \) trong mỗi trường hợp (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Lời giải chi tiết

\(\sin {10^o} \approx 0,174,\\\sin {20^o} \approx 0,342,\\\sin {30^o} = \frac{1}{2},\\\sin {40^o} \approx 0,643.\)

Đề bài

Hãy dùng MTCT, tìm số đo góc nhọn \(\alpha \) (làm tròn đến độ) trong mỗi trường hợp

a) Khi sin \(\alpha \) lần lượt bằng \(\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3};\)

b) Khi cos \(\alpha \) lần lượt bằng \(\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3}\).

Lời giải chi tiết

a) Với \(\sin \alpha  = \frac{1}{4}\) thì \(\alpha  \approx {14^o}\).

Với \(\sin \alpha  = \frac{1}{3}\) thì \(\alpha  \approx {19^o}\).

Với \(\sin \alpha  = \frac{1}{2}\) thì \(\alpha  = {30^o}\).

Với \(\sin \alpha  = \frac{2}{3}\) thì \(\alpha  \approx {42^o}\).

b) Với \(\cos \alpha  = \frac{1}{4}\) thì \(\alpha  \approx {76^o}\).

Với \(\cos \alpha  = \frac{1}{3}\) thì \(\alpha  \approx {71^o}\).

Với \(\cos \alpha  = \frac{1}{2}\) thì \(\alpha  = {60^o}\).

Với \(\cos \alpha  = \frac{2}{3}\) thì \(\alpha  \approx {48^o}\).

Đề bài

Biết rằng với mỗi góc nhọn \(\alpha \), ta có \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), không dùng MTCT, hãy tính \({\sin ^2}{25^o} + {\sin ^2}{35^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{55^o} + {\sin ^2}{65^o}\).

Lời giải chi tiết

\({\sin ^2}{25^o} + {\sin ^2}{35^o} + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{55^o} + {\sin ^2}{65^o}\)

\( = {\cos ^2}\left( {{{90}^o} - {{25}^o}} \right) + {\cos ^2}\left( {{{90}^o} - {{35}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o} + {\sin ^2}{55^o} + {\sin ^2}{65^o}\)

\( = {\cos ^2}{65^o} + {\cos ^2}{55^o} + {\sin ^2}{55^o} + {\sin ^2}{65^o} + {\sin ^2}{45^o}\)

\( = \left( {{{\cos }^2}{{65}^o} + {{\sin }^2}{{65}^o}} \right) + \left( {{{\cos }^2}{{55}^o} + {{\sin }^2}{{55}^o}} \right) + {\sin ^2}{45^o} \)

\(= 1 + 1 + {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{5}{2}\)

Đề bài

Một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông đo được 5cm, 12cm. Hỏi sin góc nhọn nhỏ nhất của tam giác đó bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác ABC vuông tại A có \(AB = 5cm,AC = 12cm\) và BC là cạnh huyền. Do đó, AB là cạnh ngắn nhất của tam giác ABC.

Theo định lý Pythagore ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 169\) nên \(BC = 13cm\)

Do đó, \(\sin C = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{13}}\).

Đề bài

Xét tam giác ABC vuông tại B, có \(\widehat A = {30^o}\). Tia Bt sao cho \(\widehat {CBt} = {30^o}\) cắt tia AC ở D, D nằm giữa A và C. Chứng minh rằng khoảng cách từ D đến đường thẳng BC bằng \(\frac{{AB}}{4}\).

Lời giải chi tiết

Tam giác ABC vuông tại B nên \(\widehat C = {90^o} - \widehat A = {60^o}\).

Tam giác BCD có: \(\widehat {BDC} = {180^o} - \widehat {DBC} - \widehat C = {90^o}\). Do đó, tam giác BCD vuông tại D.

Suy ra, \(\frac{{BD}}{{AB}} = \sin \widehat {BAD} = \sin {30^o} = \frac{1}{2}\)

Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ D lên BC thì DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng BC.

Trong tam giác BDE vuông tại E có: \(\frac{{DE}}{{BD}} = \sin \widehat {DBE} = \sin {30^o} = \frac{1}{2}\)

Ta có: \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BD}}.\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{4}\), suy ra \(DE = \frac{{AB}}{4}\).

Đề bài

Vẽ góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp:

a) \(\cos \alpha  = 0,4\);

b) \(\tan \alpha  = \frac{2}{3}\);

c) \(\cot \alpha  = \frac{3}{4}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\cos \alpha  = 0,4 = \frac{2}{5}\)

+ Vẽ góc vuông xAy, lấy điểm B thuộc tia Ax sao cho \(AB = 2cm\).

+ Vẽ đường tròn tâm B, bán kính 5cm, đường tròn này cắt tia Ay tại C.

+ Khi đó ta được tam giác ABC vuông tại A, \(AB = 2cm\), \(BC = 5cm\) nên \(\cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{2}{5}\).

Vậy góc ABC vẽ như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) + Vẽ góc vuông xAy, lấy điểm B thuộc tia Ax sao cho \(AB = 3cm\).

+ Lấy điểm C thuộc tia Ay sao cho \(AC = 2cm\).

+ Khi đó ta được tam giác ABC vuông tại A, \(AB = 3cm\), \(AC = 2cm\) nên \(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{2}{3}\).

Vậy góc ABC vẽ như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) + Vẽ góc vuông xAy, lấy điểm B thuộc tia Ax sao cho \(AB = 3cm\).

+ Lấy điểm C thuộc tia Ay sao cho \(AC = 4cm\).

+ Khi đó ta được tam giác ABC vuông tại A, \(AB = 3cm\), \(AC = 4cm\) nên \(\cot \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\).

Vậy góc ABC vẽ như trên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đề bài

Một cái thang dài 3,2m đặt tựa bức tường, đầu thang đạt đến độ cao 3m thì thang tạo với mặt đất góc \(\alpha \) xấp xỉ bằng bao nhiêu độ (H.4.6)?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\sin \alpha  = \frac{3}{{3,2}} = \frac{{15}}{{16}}\) nên \(\alpha  \approx {70^o}\).

Do đó, thang tạo với mặt đất một góc xấp xỉ 70 độ.

Đề bài

Một cái diều có dây diều dài 8m, khi dây diều căng thì diều bay ở độ cao 6m. Hỏi khi đó dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn \(\alpha \) xấp xỉ bằng bao nhiêu độ (H.4.7)?

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\sin \alpha  = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\) nên \(\alpha  \approx {49^o}\).

Do đó, dây diều tạo với phương ngang của mặt đất góc nhọn xấp xỉ 49 độ.

Đề bài

Chứng minh tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng 1 là tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác ABC vuông tại A có \(\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{AB}} = 1\) nên \(AB = AC\).

Do đó, tam giác ABC vuông cân tại A.

Đề bài

a) Tính các góc của tam giác vuông có một góc nhọn có tang bằng \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

b) Một hình chữ nhật có kích thước 3 và \(\sqrt 3 \). Tính các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật đó.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác vuông có một góc nhọn \(\alpha \) có \(\tan \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) nên \(\alpha  = {30^o}\), góc nhọn còn lại của tam giác là góc \({90^o} - {30^o} = {60^o}\).

b) Đường chéo của hình chữ nhật tạo với hai cạnh của hình chữ nhật hai góc \(\alpha \) và \({90^o} - \alpha \), trong đó góc \(\alpha \) có \(\tan \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) nên \(\alpha  = {30^o}\).

Vậy các góc tạo bởi đường chéo và cạnh của hình chữ nhật đó là góc \({30^o}\) và góc \({60^o}\).

Đề bài

Dùng MTCT, hãy tìm tang và côtang của góc nhọn \(\alpha \) khi \(\alpha \) lần lượt bằng \({10^o}{,20^0}{,30^o}{,40^o}\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Lời giải chi tiết

\(\tan {10^o} \approx 0,176,\cot {10^o} \approx 5,671.\)

\(\tan {20^o} \approx 0,364,\cot {20^o} \approx 2,747.\)

\(\tan {30^o} \approx 0,577,\cot {30^o} \approx 1,732.\)

\(\tan {40^o} \approx 0,839,\cot {40^o} \approx 1,192.\)

Đề bài

Tính tang, côtang của góc kề đáy của tam giác cân biết cạnh đáy dài 8cm, đường cao ứng với đáy dài 5cm.

Lời giải chi tiết

Giả sử tam giác ABC cân tại A có đáy \(BC = 8cm\). Kẻ đường cao AD của tam giác cân ABC nên \(AD = 5cm\).

Vì tam giác ABC cân tại A nên AD là đường cao đồng thời là đường trung tuyến.

Do đó, \(BD = \frac{{BC}}{2} = 4cm\).

Tam giác ABD vuông tại D nên \(\tan B = \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{5}{4};\cot B = \frac{{BD}}{{AD}} = \frac{4}{5}\).

Đề bài

Dùng định nghĩa tỉ số lượng giác sin\(\alpha \), cos\(\alpha \), tan\(\alpha \), cot\(\alpha \), hãy chứng minh rằng:

a) \(\tan\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }},\cot \alpha  = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\);

b) \(1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\).

Lời giải chi tiết

Kí hiệu: cạnh huyền: CH, cạnh đối: CĐ, cạnh kề: CK.

Theo định nghĩa ta có: $\sin \alpha =\frac{CĐ}{CH},\cos \alpha =\frac{CK}{CH},\tan \alpha =\frac{CĐ}{CK},\cot \alpha =\frac{CK}{CĐ}.$

a) Ta có:

\(\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{CĐ}{CH}}{\frac{CK}{CH}}=\frac{CĐ}{CK}=\tan \alpha ;\\\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{CK}{CH}}{\frac{CĐ}{CH}}=\frac{CK}{CĐ}=\cot \alpha .\)

b) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác vuông ta có: ${{CĐ}^{2}}+C{{K}^{2}}=C{{H}^{2}}$

Ta có:

${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{C{{Đ}^{2}}}{C{{H}^{2}}}+\frac{C{{K}^{2}}}{C{{H}^{2}}}\\=\frac{{{CĐ}^{2}}+C{{K}^{2}}}{C{{H}^{2}}}=\frac{C{{H}^{2}}}{C{{H}^{2}}}=1.$

Do đó, \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \).

Đề bài

Cho góc \(\alpha \) có \(\tan \alpha  = \frac{3}{4}\). Tính sin\(\alpha \), cos\(\alpha .\)

Lời giải chi tiết

Vì \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 1 + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{{25}}{{16}}\) (theo kết quả bài 4.15) nên \(\cos \alpha  = \frac{4}{5}\).

Lại có: \(\tan\alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) (theo kết quả bài 4.15) nên \(\sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  = \frac{3}{4}.\frac{4}{5} = \frac{3}{5}\).

Đề bài

Với \(\alpha  < \beta  < {90^o}\), hãy chứng minh rằng:

a) \(\cos \alpha  > \cos \beta \) (HD. Sử dụng Ví dụ 5 và bài 4,15);

b) \(\sin \alpha  < \sin \beta \) (HD. Sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)).

Lời giải chi tiết

Theo ví dụ 5 ta có: khi cho số đo góc nhọn \(\alpha \) tăng lên thì tan\(\alpha \) tăng lên, tức là \(\alpha  < \beta  < {90^o}\) thì \(\tan \alpha  < \tan \beta \).

a) Nếu \(\alpha  < \beta  < {90^o}\) thì \({\tan ^2}\alpha  < {\tan ^2}\beta \).

Do đó, \(1 + {\tan ^2}\alpha  < 1 + {\tan ^2}\beta \).

Suy ra \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} < \frac{1}{{{{\cos }^2}\beta }}\).

Do đó, \({\cos ^2}\alpha  > {\cos ^2}\beta \).

Vậy \(\cos \alpha  > \cos \beta \).

b) Theo a ta có: \({\cos ^2}\alpha  > {\cos ^2}\beta \) nên \(1 - {\cos ^2}\alpha  < 1 - {\cos ^2}\beta \).

Suy ra \({\sin ^2}\alpha  < {\sin ^2}\beta \).

Vậy \(\sin \alpha  < \sin \beta \).