Bài 10. Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Đề bài

Sử dụng định nghĩa căn bậc ba của một số thực, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\sqrt[3]{{ - 27}} + 2\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + 5\sqrt[3]{{ - 0,008}}\);

b) \(\sqrt[3]{{0,001}} - 3\sqrt[3]{{\frac{8}{{125}}}} + 2\sqrt[3]{{ - 64}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt[3]{{ - 27}} + 2\sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + 5\sqrt[3]{{ - 0,008}} \)

\(= \sqrt[3]{{{{\left( { - 3} \right)}^3}}} + 2\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^3}}} + 5\sqrt[3]{{{{\left( { - 0,2} \right)}^3}}} \\=  - 3 + 2.\frac{1}{2} + 5.\left( { - 0,2} \right) =  - 3;\)

b) \(\sqrt[3]{{0,001}} - 3\sqrt[3]{{\frac{8}{{125}}}} + 2\sqrt[3]{{ - 64}} \)

\(= \sqrt[3]{{{{0,1}^3}}} - 3\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^3}}} + 2\sqrt[3]{{{{\left( { - 4} \right)}^3}}}\\ = 0,1 - 3.\frac{2}{5} - 8 = \frac{{ - 91}}{{10}}.\)

Đề bài

Không dùng MTCT, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) \(\left( {\sqrt[3]{{64}} - \sqrt[3]{{27}}} \right).\sqrt[3]{{\frac{{125}}{8}}}\);

b) \(\frac{{5\sqrt[3]{{ - 8}} - 10\sqrt[3]{{0,008}} + 3\sqrt[3]{{343}}}}{{\sqrt[3]{{0,064}} + \sqrt[3]{{0,125}}}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\left( {\sqrt[3]{{64}} - \sqrt[3]{{27}}} \right).\sqrt[3]{{\frac{{125}}{8}}} \)

\(= \left( {\sqrt[3]{{{4^3}}} - \sqrt[3]{{{3^3}}}} \right).\sqrt[3]{{{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^3}}} \)

\(= \left( {4 - 3} \right).\frac{5}{2} = \frac{5}{2}\);

b) \(\frac{{5\sqrt[3]{{ - 8}} - 10\sqrt[3]{{0,008}} + 3\sqrt[3]{{343}}}}{{\sqrt[3]{{0,064}} + \sqrt[3]{{0,125}}}} \)

\(= \frac{{5\sqrt[3]{{{{\left( { - 2} \right)}^3}}} - 10\sqrt[3]{{{{0,2}^3}}} + 3\sqrt[3]{{{7^3}}}}}{{\sqrt[3]{{{{0,4}^3}}} + \sqrt[3]{{{{0,5}^3}}}}} \\= \frac{{5.\left( { - 2} \right) - 10.0,2 + 3.7}}{{0,4 + 0,5}} \\= \frac{9}{{0,9}} = 10\).

Đề bài

Tìm x, biết rằng:

a) \(\sqrt[3]{{2x - 1}} = 1\);

b) \(5x - \sqrt[3]{{64{x^3}}} = 25\).

Lời giải chi tiết

a) \(\sqrt[3]{{2x - 1}} = 1\)

\(2x - 1 = {1^3}\)

\(2x = 2\)

\(x = 1\)

Vậy \(x = 1\)

b) \(5x - \sqrt[3]{{64{x^3}}} = 25\)

\(5x - \sqrt[3]{{{{\left( {4x} \right)}^3}}} = 25\)

\(5x - 4x = 25\)

\(x = 25\)

Vậy \(x = 25\)

Đề bài

Tương tự căn bậc hai, căn bậc ba có tính chất sau: Nếu \(a < b\) thì \(\sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\). Sử dụng tính chất này, so sánh:

a) 5 và \(\sqrt[3]{{123}}\);

b) \(\sqrt[3]{{0,009}}\) và 0,2.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(5 = \sqrt[3]{{{5^3}}} = \sqrt[3]{{125}}\).

Vì \(\sqrt[3]{{125}} > \sqrt[3]{{123}}\) nên \(5 > \sqrt[3]{{123}}\).

b) Ta có: \(0,2 = \sqrt[3]{{{{0,2}^3}}} = \sqrt[3]{{0,008}}\).

Vì \(\sqrt[3]{{0,009}} > \sqrt[3]{{0,008}}\) nên \(\sqrt[3]{{0,009}} > 0,2\).

Đề bài

Tính diện tích tôn cần dùng để làm một cái thùng không nắp hình lập phương chứa được 215 lít nước (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải chi tiết

Đổi 215 lít = \(215d{m^3}\).

Độ dài cạnh hình lập phương là: \(x = \sqrt[3]{{215}}\left( {dm} \right)\).

Diện tích tôn cần dùng để làm thùng không nắp hình lập phương là:

\(S = 5{\left( {\sqrt[3]{{215}}} \right)^2} \approx 179,44\left( {d{m^2}} \right)\).

Đề bài

Sử dụng MTCT, tính giá trị biểu thức (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba):

a) \(P = 2\sqrt[3]{{{x^2} - 1}}\) tại \(x = 5\);

b) \(P = \sqrt[3]{{2x - 1}} - \sqrt[3]{{x + 1}}\) tại \(x = 0,5\).

Lời giải chi tiết

a) Thay \(x = 5\) vào biểu thức P ta có:

\(P = 2\sqrt[3]{{{5^2} - 1}} = 2\sqrt[3]{{24}}\).

Sử dụng MTCT, ta có \(2\sqrt[3]{{24}} = 5,768998281\).

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta có: \(P \approx 5,769\).

b) Thay \(x = 0,5\) vào biểu thức P ta có:

\(P = \sqrt[3]{{0,5.2 - 1}} - \sqrt[3]{{0,5 + 1}} =  - \sqrt[3]{{1,5}}\).

Sử dụng MTCT, ta có \( - \sqrt[3]{{1,5}} =  - 1,44714243\).

Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta có: \(P \approx  - 1,447\).

Đề bài

Khoảng cách trung bình d (tính bằng mét) giữa một hành tinh và Mặt Trời được tính theo công thức \(d = \sqrt[3]{{\frac{{{{10}^{19}}{T^2}}}{{2,97}}}}\), trong đó T (tính bằng giây) là thời gian hành tinh quay một vòng quanh Mặt Trời. Biết rằng Trái Đất quay một vòng quanh Mặt Trời trong khoảng 365 ngày. Hãy tính khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời là bao nhiêu triệu kilômét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

(Theo Courses.lumenleaning.com/sunny-osuniversilyphysics/chapter/13-4-satelitte-orbits-and-energy/)

Lời giải chi tiết

Đổi: 1 giờ = 3600 giây,

1 ngày = 24.3600 = \({8,64.10^4}\) giây,

365 ngày = 365. \({8,64.10^4}\) giây = \({3153,6.10^4}\) giây

Với \(T = {3153,6.10^4}\) giây, thay vào biểu thức d ta có:

\(d = \sqrt[3]{{\frac{{{{10}^{19}}{{\left( {{{3153,6.10}^4}} \right)}^2}}}{{2,97}}}}(m) = \sqrt[3]{{\frac{{{{10}^{19}}{{\left( {{{3153,6.10}^4}} \right)}^2}}}{{2,97}}}}:{10^9}\left( {km} \right) \approx 149,6\) (triệu km).

Vậy khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời là khoảng 149,6 triệu km