Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Đề bài

Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {\sqrt {20}  + 2\sqrt {45}  - 3\sqrt {80} } \right)^2}\).

Lời giải chi tiết

\(P = {\left( {\sqrt {20}  + 2\sqrt {45}  - 3\sqrt {80} } \right)^2} \\= {\left( {\sqrt {{2^2}.5}  + 2\sqrt {{3^2}.5}  - 3\sqrt {{4^2}.5} } \right)^2} \\= {\left( {2\sqrt 5  + 6\sqrt 5  - 12\sqrt 5 } \right)^2}\\= {\left( { - 4\sqrt 5 } \right)^2} = 16.5 = 80\)

Đề bài

Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: \(9\sqrt 2 ;\;8\sqrt 3 ;\;5\sqrt 6 ;\;4\sqrt 7 \).

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(9\sqrt 2  = \sqrt {{9^2}.2}  = \sqrt {162} ;\\8\sqrt 3  = \sqrt {{8^2}.3}  = \sqrt {192} ;\\5\sqrt 6  = \sqrt {{5^2}.6}  = \sqrt {150} ;\\4\sqrt 7  = \sqrt {{4^2}.7}  = \sqrt {112} \)

Vì \(\sqrt {112}  < \sqrt {150}  < \sqrt {162}  < \sqrt {192} \) nên \(4\sqrt 7  < 5\sqrt 6  < 9\sqrt 2  < 8\sqrt 3 \)

Vậy các số sắp xếp theo thứ tự tăng dần là \(4\sqrt 7 ;5\sqrt 6 ;9\sqrt 2 ;8\sqrt 3 \).

Đề bài

Thực hiện phép tính \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 8  + \sqrt 7 }} + \sqrt {175}  - 2\sqrt 2 } \right)^2}\).

Lời giải chi tiết

\({\left( {\frac{1}{{\sqrt 8  + \sqrt 7 }} + \sqrt {175}  - 2\sqrt 2 } \right)^2} \\= {\left[ {\frac{{\sqrt 8  - \sqrt 7 }}{{\left( {\sqrt 8  + \sqrt 7 } \right)\left( {\sqrt 8  - \sqrt 7 } \right)}} + \sqrt {{5^2}.7}  - 2\sqrt 2 } \right]^2}\\ = {\left( {\frac{{2\sqrt 2  - \sqrt 7 }}{{8 - 7}} + 5\sqrt 7  - 2\sqrt 2 } \right)^2} \\= {\left( {2\sqrt 2  - \sqrt 7  + 5\sqrt 7  - 2\sqrt 2 } \right)^2} \\= {\left( {4\sqrt 7 } \right)^2} = {4^2}.7 = 112\)

Đề bài

Thực hiện phép tính \(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{17 - 12\sqrt 2 }}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{17 + 12\sqrt 2 }}} \).

Lời giải chi tiết

\(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{17 - 12\sqrt 2 }}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{17 + 12\sqrt 2 }}} \\ = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 2 .3 + {3^2}}}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + 2.2\sqrt 2 .3 + {3^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2  - 3} \right)}^2}}}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2  + 3} \right)}^2}}}} \\ = \sqrt {\frac{1}{{3 - 2\sqrt 2 }}}  - \sqrt {\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }}} \\ = \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}}  - \sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}} \\ = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}  - \sqrt {{{\left( { - 1 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \)\( = 1 + \sqrt 2  - \sqrt 2  + 1 = 2\)

Đề bài

Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

\(P = \left( {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{{1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}} \right)\left( {\sqrt 3  - \frac{4}{{\sqrt 3 }} + 2} \right).\sqrt {0,2}. \)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\frac{{\sqrt 5  + 1}}{{1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 }} \\= \frac{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\left( {1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 } \right) + \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 } \right)}}\\ = \frac{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)\left( {1 - \sqrt 5 } \right) + \sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 5 } \right) + \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {1 + \sqrt 5 } \right) + \sqrt 3 \left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}}\\ = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3  - 1}}\)

Do đó,

\(P = \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3  - 1}}.\frac{{3 - 4 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {0,2} \\= \frac{{2\sqrt {15} }}{{2\sqrt 3  - 1}}.\frac{{2\sqrt 3  - 1}}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {0,2} \\ = 2\sqrt 5 .\sqrt {0,2} \\ = 2\sqrt {0,2.5} \\ = 2\)

Đề bài

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2  - 1}}\).

b) Tính giá trị biểu thức \(P = x\left( {{x^4} - 6{x^2} + 1} \right)\) tại \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2  - 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2  - 1}} \)

\(= \frac{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)\left( {2\sqrt 2  + 1} \right)}}{{\left( {2\sqrt 2  - 1} \right)\left( {2\sqrt 2  + 1} \right)}} \\= \frac{{2\sqrt 2 \left( {3 + \sqrt 2 } \right) + 3 + \sqrt 2 }}{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {1^2}}} \\= \frac{{6\sqrt 2  + 4 + 3 + \sqrt 2 }}{7} \\= \frac{{7\sqrt 2  + 7}}{7}\\= \frac{{7\left( {\sqrt 2  + 1} \right)}}{7} \\= \sqrt 2  + 1\)

b) Ta có: \(P = x\left[ {{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} - 8} \right]\)

Với \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2  - 1}} = \sqrt 2  + 1\) thì:

\({x^2} - 3 = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^2} - 3 \\= {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 2\sqrt 2  + 1 - 3 \\= 2\sqrt 2 .\)

Do đó,

\(P = \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left[ {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - 8} \right] \)\(= \left( {\sqrt 2  + 1} \right).0 = 0\)