Bài tập cuối chương II

Nghiệm của bất phương trình \( - 5x - 1 < 0\) là

A. \(x >  - \frac{1}{5}\).

B. \(x <  - \frac{1}{5}\).

C. \(x \ge  - \frac{1}{5}\).

D. \(x \le  - \frac{1}{5}\).

Phương pháp giải:

Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn \(ax + b < 0\left( {a \ne 0} \right)\):

+ Nếu \(a > 0\) thì \(x <  - \frac{b}{a}\);

+ Nếu \(a < 0\) thì \(x >  - \frac{b}{a}\).

Lời giải chi tiết:

\( - 5x - 1 < 0\)

\( - 5x < 1\)

\(x >  - \frac{1}{5}\)

Chọn A

Trả lời câu hỏi Câu 2 trang 29 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{2x}}{{x - 1}} + \frac{{3x + 1}}{{2x + 1}} = \frac{{7{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\) là

A. \(x \ne 1\).

B. \(x \ne  - \frac{1}{2}\).

C. \(x \ne 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\).

D. \(x \in \mathbb{R}\).

Phương pháp giải:

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và được gọi là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x - 1 \ne 0,2x + 1 \ne 0\) nên \(x \ne 1\) và \(x \ne  - \frac{1}{2}\).

Chọn C

Trả lời câu hỏi Câu 3 trang 29 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Phương trình \(2x + 1 = m\) có nghiệm lớn hơn -2 với

A. \(m > 0\).

B. \(m >  - 2\).

C. \(m >  - 3\).

D. \(m \le  - 3\).

Phương pháp giải:

+ Giải phương trình tìm x theo m.

+ Vì phương trình có nghiệm lớn hơn -2, tìm được bất phương trình bậc nhất ẩn m, từ đó tìm được m.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2x + 1 = m\) nên \(x = \frac{{m - 1}}{2}\).

Để phương trình có nghiệm lớn hơn -2 nên \(\frac{{m - 1}}{2} >  - 2\)

\(m - 1 >  - 4\)

\(m >  - 3\)

Chọn C

Trả lời câu hỏi Câu 4 trang 29 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Nghiệm của bất phương trình \(3x - 1 \le 2x + 2\) là

A. \(x > 3\).

B. \(x < 3\).

C. \(x \ge 3\).

D. \(x \le 3\).

Phương pháp giải:

Đưa bất phương trình đã cho về dạng bất phương trình bậc nhất một ẩn và giải bất phương trình đó.

Lời giải chi tiết:

\(3x - 1 \le 2x + 2\)

\(3x - 2x \le 2 + 1\)

\(x \le 3\)

Chọn D

Trả lời câu hỏi Câu 5 trang 29 SBT Toán 9 Kết nối tri thức

Cho \(a > b\), khi đó ta có

A. \(2a > b + 1\).

B. \( - 2a >  - 2b\).

C. \(2a > a + b\).

D. \(3a < a + 2b\).

Phương pháp giải:

Với ba số a, b, c ta có: Nếu \(a > b\) thì \(a + c > b + c\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(a > b\) nên \(a + a > b + a\) hay \(2a > a + b\).

Chọn C

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(5x\left( {x + 2} \right) - 10x - 20 = 0\);

b) \({x^2} - 4x = x - 4\).

Lời giải chi tiết

a) \(5x\left( {x + 2} \right) - 10x - 20 = 0\)

\(5x\left( {x + 2} \right) - 10(x + 2) = 0\)

\(\left( {5x - 10} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(5\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

\(x - 2 = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)

• \(x - 2 = 0\) suy ra \(x = 2\)
• \(x + 2 = 0\) suy ra \(x =  - 2\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 2\), \(x =  - 2\).

b) \({x^2} - 4x = x - 4\)

\(x\left( {x - 4} \right) - \left( {x - 4} \right) = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(x - 4 = 0\)

• \(x - 1 = 0\) suy ra \(x = 1\)
• \(x - 4 = 0\) suy ra \(x = 4\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 1\), \(x = 4\).

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{6}{{8 + {x^3}}} = \frac{1}{{{x^2} - 2x + 4}} + \frac{1}{{x + 2}}\);

b) \(\frac{x}{{x + 5}} + \frac{{x - 5}}{x} = 2\).

Lời giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(x \ne  - 2\).

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình ta có: \(\frac{6}{{\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2 + {x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 2x + 4}}\)

Suy ra \(x + 2 + {x^2} - 2x + 4 = 6\)

\({x^2} - x = 0\)

\(x\left( {x - 1} \right) = 0\)

\(x = 0\) hoặc \(x = 1\)

Giá trị \(x = 0\), \(x = 1\) thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 0\), \(x = 1\).

b) ĐKXĐ: \(x \ne  - 5;x \ne 0\).

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình ta có: \(\frac{{{x^2} + \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 5} \right)}}{{x\left( {x + 5} \right)}}\)

Suy ra \({x^2} + \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) = 2x\left( {x + 5} \right)\)

\({x^2} + {x^2} - 25 - 2{x^2} - 10x = 0\)

\( - 10x = 25\)

\(x = \frac{{ - 5}}{2}\)

Giá trị \(x = \frac{{ - 5}}{2}\) thỏa mãn ĐKXĐ

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{ - 5}}{2}\).

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) > x\left( {3x - 2} \right) + 1\);

b) \(2x\left( {x + 1} \right) + 3 < x\left( {2x + 5} \right) - 7\).

Lời giải chi tiết

a) \(\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) > x\left( {3x - 2} \right) + 1\)

\(3{x^2} + 7x + 2 > 3{x^2} - 2x + 1\)

\(3{x^2} - 3{x^2} + 7x + 2x > 1 - 2\)

\(9x >  - 1\)

\(x > \frac{{ - 1}}{9}\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > \frac{{ - 1}}{9}\).

b) \(2x\left( {x + 1} \right) + 3 < x\left( {2x + 5} \right) - 7\)

\(2{x^2} + 2x + 3 < 2{x^2} + 5x - 7\)

\(2{x^2} - 2{x^2} + 2x - 5x <  - 7 - 3\)

\( - 3x <  - 10\)

\(x > \frac{{10}}{3}\)

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là \(x > \frac{{10}}{3}\).

Đề bài

a) Cho \(a < b\) và \(c < d\), chứng minh rằng \(a + c < b + d\).

b) Cho \(0 < a < b\) và \(0 < c < d\), chứng minh rằng \(0 < ac < bd\).

Lời giải chi tiết

a) Từ \(a < b\), suy ra \(a + c < b + c\).

Từ \(c < d\), suy ra \(b + c < b + d\).

Do đó, theo tính chất bắc cầu của bất đẳng thức ta suy ra \(a + c < b + d\).

b) Từ \(a > 0\) và \(c > 0\) suy ra \(ac > 0\) (1).

Từ \(a < b\) nên \(ac < bc\) (do nhân hai vế với \(c > 0\)) (2)

Từ \(c < d\) suy ra \(bc < bd\) (do nhân hai vế với \(b > 0\)) (3)

Theo tính chất bắc cầu, từ (1), (2) và (3) suy ra \(0 < ac < bd\).

Đề bài

Chứng minh rằng với số \(a > 0,b > 0\) bất kì, ta luôn có \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2 = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab}} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}}\)

Với \(a > 0,b > 0\) thì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,ab > 0\), suy ra \(\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab}} \ge 0\).

Do đó, \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\) với mọi \(a > 0,b > 0\).

Đề bài

Hà phải làm 4 bài kiểm tra tiếng Anh: nghe, nói, đọc, viết. Bài nghe, nói, đọc Hà đạt điểm số lần lượt là 78, 83 và 89. Hỏi bài kiểm tra viết, Hà phải đạt điểm số là bao nhiêu để điểm số trung bình Hà đạt được của cả 4 bài kiểm tra ít nhất là 85?

Lời giải chi tiết

Gọi x là số điểm Hà đạt được ở bài kiểm tra viết.

Điểm trung bình bốn bài kiểm tra nghe, nói, đọc, viết là: \(\frac{{78 + 83 + 89 + x}}{4} = \frac{{250 + x}}{4}\)

Để điểm số trung bình đạt được của cả 4 bài kiểm tra ít nhất là 85 điểm thì \(\frac{{250 + x}}{4} \ge 85\)

\(250 + x \ge 340\)

\(x \ge 90\)

Vậy Hà phải đạt được ít nhất 90 điểm ở bài kiểm tra viết thì điểm số trung bình đạt được của cả 4 bài kiểm tra ít nhất là 85 điểm.

Đề bài

Mức lương tối thiểu theo quy định ở Pháp năm 2022 là 10,25€ cho mỗi giờ làm việc.

Trong dịp hè, Laurent David làm thêm tại một khách sạn theo mức lương tối thiểu như quy định và anh ấy muốn kiếm được ít nhất 1500€ trong mùa hè này.

a) Hãy viết một bất phương trình mô tả tình huống này.

b) Hỏi anh ấy cần làm việc ít nhất bao nhiêu giờ để kiếm được số tiền trên? (€ là viết tắt của Euro, là loại tiền tệ mà 20 nước thuộc liên minh Châu Âu đang sử dụng chung)

Lời giải chi tiết

a) Gọi x (giờ) là số giờ làm việc của Laurent David. Điều kiện: \(x > 0\).

Số tiền tối thiểu mà anh ấy kiếm được khi làm x giờ là: \(10,25x\)(€).

Để kiếm được ít nhất 1500€ thì \(10,25x \ge 1500\)

b) Theo a ta có: \(10,25x \ge 1500\)

\(x \ge \frac{{1500}}{{10,25}}\)

\(x \ge 146,34\)

Vậy anh ấy cần làm ít nhất 147 giờ thì kiếm được số tiền là 1500€.

Đề bài

Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B trên cùng quãng đường dài 150km. Vận tốc xe thứ nhất hơn vận tốc xe thứ hai là 10km/h và xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 30 phút. Hỏi vận tốc của hai xe là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h). Điều kiện: \(x > 0\)

Vận tốc của xe thứ nhất là \(x + 10\left( {km/h} \right)\).

Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: \(\frac{{150}}{{x + 10}}\) (giờ).

Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: \(\frac{{150}}{x}\) (giờ).

Vì xe thứ nhất đến B sớm hơn xe thứ hai là 30 phút\( = \frac{1}{2}\) giờ nên ta có phương trình: \(\frac{{150}}{x} - \frac{{150}}{{x + 10}} = \frac{1}{2}\)

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình ta được: \(\frac{{2.150\left( {x + 10} \right) - 2.150x}}{{2x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 10} \right)}}{{2x\left( {x + 10} \right)}}\)

Suy ra \(300\left( {x + 10} \right) - 300x = x\left( {x + 10} \right)\)

\(300x + 3000 - 300x = {x^2} + 10x\)

\({x^2} + 10x + 25 = 3025\)

\({\left( {x + 5} \right)^2} = {55^2}\)

\(x + 5 = 55\) (do \(x \ge 0\) nên \(x + 5 \ge 5\))

\(x = 50\)

Giá trị \(x = 50\) thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy vận tốc của xe thứ nhất và thứ hai lần lượt là 60km/h và 50km/h.