Bài 5. Bất đẳng thức và tính chất

Đề bài

Khi đi trên tuyến cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung Lương, chúng ta thấy biển báo giao thông báo hiệu giới hạn tốc độ mà ô tô được phép đi trong điều kiện bình thường. Hãy viết các bất đẳng thức để mô tả tốc độ cho phép của ô tô

a) Ở làn ngoài cùng bên trái và ở làn giữa;

b) Ở làn ngoài cùng bên phải.

Lời giải chi tiết

Gọi x (km/h) là tốc độ cho phép của ô tô trên cao tốc Thành phố Hồ Chí Minh – Trung Lương trong điều kiện bình thường. Khi đó, bất đẳng thức mô tả tốc độ cho phép của ô tô là

a) \(60 \le x \le 100\).

b) \(50 \le x \le 80\).

Đề bài

Viết bất đẳng thức để mô tả tình huông sau:

a) Bạn phải ít nhất 18 tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội.

b) Một thang máy chở được tối đa 700kg.

c) Bạn phải mua hàng có tổng giá trị ít nhất 1 triệu đồng mới được giảm giá.

d) Bạn phải ném vào rổ ít nhất 5 quả bóng mới vào được đội tuyển bóng rổ.

Lời giải chi tiết

a) Gọi t là số tuổi của một người. Để người đó được đi bầu cử đại biểu Quốc hội thì \(t \ge 18\).

b) Gọi x(kg) là khối lượng hàng hóa thang máy chở được, khi đó \(x \le 700\).

c) Gọi x (đồng) là số tiền bạn mua hàng. Để được giảm giá thì \(x \ge 1\;000\;000\).

d) Gọi x là số quả bóng ném được vào rổ. Để được vào đội tuyển bóng rổ thì \(x \ge 5\).

Đề bài

So sánh

a) \( - \frac{{2019}}{{1010}}\) và \( - \frac{{201}}{{100}}\);

b) \(\frac{{{{2024}^2} - 1}}{{2024}}\) và \(\frac{{{{2025}^2} + 1}}{{2025}}\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \( - \frac{{2019}}{{1010}} >  - 2; - \frac{{201}}{{100}} <  - 2\) nên \( - \frac{{2019}}{{1010}} >  - \frac{{201}}{{100}}\).

b) Vì \(\frac{{{{2024}^2} - 1}}{{2024}} < \frac{{{{2024}^2}}}{{2024}} = 2024\) và \(\frac{{{{2025}^2} + 1}}{{2025}} > \frac{{{{2025}^2}}}{{2025}} = 2025\).

Mà \(2025 > 2024\) nên \(\frac{{{{2025}^2} + 1}}{{2025}} > \frac{{{{2024}^2} - 1}}{{2024}}\).

Đề bài

Cho \(a > b\), hãy so sánh

a) \(20a + 5b\) và \(20b + 5a\);

b) \( - 3\left( {a + b} \right) - 1\) và \( - 6b - 1\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(a > b\) nên \(15a > 15b\),

suy ra \(15a + 5a + 5b > 15b + 5a + 5b\),

do đó \(20a + 5b > 20b + 5a\).

b) Vì \(a > b\) nên \( - 3a <  - 3b\),

suy ra \( - 3a - 3b - 1 <  - 3b - 3b - 1\),

do đó \( - 3\left( {a + b} \right) - 1 <  - 6b - 1\).

Đề bài

Cho \(a > b > 0\), chứng minh rằng

a) \({a^2} > ab\) và \(ab > {b^2}\);

b) \({a^2} > {b^2}\) và \({a^3} > {b^3}\).

Chú ý: Tính chất “Với \(a > b > 0\) thì \({a^2} > {b^2}\) và \({a^3} > {b^3}\)” thường hay dùng trong nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(a > b > 0\) nên:

+ \(a.a > ab\), suy ra \({a^2} > ab\).

+ \(a.b > b.b\), suy ra \(ab > {b^2}\).

b) Theo ý a và tính chất bắc cầu ta có: \({a^2} > {b^2}\).

Do đó, \({a^2}.a > {b^2}.a\) và \({b^2}.a > {b^2}.b\).

Suy ra \({a^3} > {b^3}\).

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số a, b ta có \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab = \frac{1}{2}\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) = \frac{1}{2}{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi a, b.

Do đó, \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)

Đề bài

Chứng minh rằng: Trong ba số tự nhiên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.

Lời giải chi tiết

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là n, n+1 và n+2.

Ta có:

\({\left( {n + 1} \right)^2} - n\left( {n + 2} \right) \\= {n^2} + 2n + 1 - {n^2} - 2n = 1 > 0.\)

Do đó, \({\left( {n + 1} \right)^2} > n\left( {n + 2} \right)\)

Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp thì bình phương số đứng giữa lớn hơn tích hai số còn lại.