Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\);

b) \(16{x^2} - {\left( {3x + 2} \right)^2} = 0\).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {x + 2} \right)^2} - \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\);

\(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 2 - 2x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 2} \right)\left( { - x + 1} \right) = 0\)

\(x + 2 = 0\) hoặc \( - x + 1 = 0\)

• \(x + 2 = 0\), suy ra \(x =  - 2\)
• \( - x + 1 = 0\), suy ra \(x = 1\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x =  - 2\); \(x = 1\).

b) \(16{x^2} - {\left( {3x + 2} \right)^2} = 0\).

\({\left( {4x} \right)^2} - {\left( {3x + 2} \right)^2} = 0\)

\(\left( {4x - 3x - 2} \right)\left( {4x + 3x + 2} \right) = 0\)

\(\left( {x - 2} \right)\left( {7x + 2} \right) = 0\)

\(x - 2 = 0\) hoặc \(7x + 2 = 0\)

• \(x - 2 = 0\), suy ra \(x = 2\)
• \(7x + 2 = 0\), suy ra \(x = \frac{{ - 2}}{7}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 2\); \(x = \frac{{ - 2}}{7}\).

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({x^3} + 3{x^2} - 8 = {x^3} + 2{x^2} - 7\);

b) \(x\left( {2x - 5} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {5 - 2x} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \({x^3} + 3{x^2} - 8 = {x^3} + 2{x^2} - 7\)

\({x^3} - {x^3} + 3{x^2} - 2{x^2} - 8 + 7 = 0\)

\({x^2} - 1 = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(x + 1 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(x =  - 1\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1\); \(x =  - 1\).

b) \(x\left( {2x - 5} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {5 - 2x} \right)\)

\(x\left( {2x - 5} \right) + \left( {2x + 1} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\)

\(\left( {2x - 5} \right)\left( {x + 2x + 1} \right) = 0\)

\(2x - 5 = 0\) hoặc \(3x + 1 = 0\)

• \(2x - 5 = 0\), suy ra \(x = \frac{5}{2}\)
• \(3x + 1 = 0\), suy ra \(x = \frac{{ - 1}}{3}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = \frac{5}{2}\); \(x = \frac{{ - 1}}{3}\).

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \({x^2} + x =  - 6x - 6\);

b) \(2{x^2} - 2x = x - 1\).

Lời giải chi tiết

a) \({x^2} + x =  - 6x - 6\)

\({x^2} + x + 6x + 6 = 0\)

\(x\left( {x + 1} \right) + 6\left( {x + 1} \right) = 0\)

\(\left( {x + 1} \right)\left( {x + 6} \right) = 0\)

\(x + 1 = 0\) hoặc \(x + 6 = 0\)

• \(x + 1 = 0\), suy ra \(x =  - 1\)
• \(x + 6 = 0\), suy ra \(x =  - 6\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x =  - 1\); \(x =  - 6\).

b) \(2{x^2} - 2x = x - 1\)

\(2x\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right) = 0\)

\(\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(x - 1 = 0\) hoặc \(2x - 1 = 0\)

• \(x - 1 = 0\), suy ra \(x = 1\)
• \(2x - 1 = 0\), suy ra \(x = \frac{1}{2}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 1\); \(x = \frac{1}{2}\).

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{{5x - 1}}{{3x + 2}} - \frac{{5x + 2}}{{3x}} = 0\);

b) \(\frac{{6x - 5}}{{2x - 1}} - \frac{{9x}}{{3x - 1}} = 0\).

Lời giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(x \ne \frac{{ - 2}}{3}\) và \(x \ne 0\).

Quy đồng mẫu ta được: \(\frac{{3x\left( {5x - 1} \right) - \left( {5x + 2} \right)\left( {3x + 2} \right)}}{{3x\left( {3x + 2} \right)}} = 0\)

Suy ra: \(3x\left( {5x - 1} \right) - \left( {5x + 2} \right)\left( {3x + 2} \right) = 0\)

\(15{x^2} - 3x - 15{x^2} - 16x - 4 = 0\)

\( - 19x = 4\)

\(x = \frac{{ - 4}}{{19}}\)

Giá trị \(x = \frac{{ - 4}}{{19}}\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{ - 4}}{{19}}\).

b) ĐKXĐ: \(x \ne \frac{1}{2}\) và \(x \ne \frac{1}{3}\).

Quy đồng mẫu ta được: \(\frac{{\left( {6x - 5} \right)\left( {3x - 1} \right) - 9x\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 1} \right)}} = 0\)

Suy ra: \(\left( {6x - 5} \right)\left( {3x - 1} \right) - 9x\left( {2x - 1} \right) = 0\)

\(18{x^2} - 21x + 5 - 18{x^2} + 9x = 0\)

\( - 12x =  - 5\)

\(x = \frac{5}{{12}}\)

Giá trị \(x = \frac{5}{{12}}\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{5}{{12}}\).

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{3}{{x + 2}} + \frac{x}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{4{x^2}}}{{{x^3} + 8}}\);

b) \(\frac{3}{{2x + 1}} + \frac{7}{{3x + 2}} = \frac{{21x + 10}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\).

Lời giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(x \ne  - 2\).

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được: \(\frac{{3\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \frac{{4{x^2}}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\)

Suy ra: \(3\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) + x\left( {x + 2} \right) = 4{x^2}\)

\(3{x^2} - 6x + 12 + {x^2} + 2x - 4{x^2} = 0\)

\( - 4x =  - 12\)

\(x = 3\)

Giá trị \(x = 3\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = 3\).

b) ĐKXĐ: \(x \ne  - \frac{1}{2};x \ne \frac{{ - 2}}{3}\).

Quy đồng mẫu hai vế của phương trình, ta được: \(\frac{{3\left( {3x + 2} \right) + 7\left( {2x + 1} \right)}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{{21x + 10}}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right)}}\)

Suy ra: \(3\left( {3x + 2} \right) + 7\left( {2x + 1} \right) = 21x + 10\)

\(9x + 6 + 14x + 7 - 21x - 10 = 0\)

\(2x + 3 = 0\)

\(x = \frac{{ - 3}}{2}\)

Giá trị \(x = \frac{{ - 3}}{2}\) thỏa mãn ĐKXĐ.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{{ - 3}}{2}\).

Đề bài

Một vật rơi tự do từ độ cao so với mặt đất là 120 mét. Bỏ qua sức cản không khí, quãng đường chuyển động s (mét) của vật rơi tự do sau thời gian t được biểu diễn gần đúng bởi công thức \(s = 4,9{t^2}\), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Sau bao nhiêu giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất (làm tròn kết quả đến chữ số hàng đơn vị)?

Lời giải chi tiết

Vật chạm đất khi quãng đường vật di chuyển được là s=120 mét.

Suy ra \(4,9{t^2} = 120\), do đó \({t^2} = \frac{{1200}}{{49}}\), suy ra \(t \approx 5\) (do \(t > 0\)).

Vậy sau khoảng 5 giây kể từ khi bắt đầu rơi thì vật này chạm mặt đất.