Bài 2. Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 8\\\frac{1}{2}x - y = 18\end{array} \right.\);

b) \(\left\{ \begin{array}{l}0,2x + 0,5y = 0,7\\4x + 10y = 9\end{array} \right.\);

c) \(\left\{ \begin{array}{l} - 2x + 3y = 1\\\frac{1}{3}x - \frac{1}{2}y =  - \frac{1}{6}\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

a) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(x = 8 - 2y\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(\frac{1}{2}\left( {8 - 2y} \right) - y = 18\) hay \( - 2y + 4 = 18\), suy ra \(y =  - 7\).

Khi đó, \(x = 8 - 2.\left( { - 7} \right) = 22\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (22; -7).

b) Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có \(x = \frac{{7 - 5y}}{2}\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(4.\frac{{7 - 5y}}{2} + 10y = 9\) hay \(14 + 0y = 9\).

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn \(14 + 0y = 9\) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Từ phương trình thứ hai của hệ ta có \(x = \frac{{3y - 1}}{2}\).

Thế vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được \( - 2.\frac{{3y - 1}}{2} + 3y = 1\) hay \(0.y + 1 = 1\), hệ thức này luôn thỏa mãn với mọi giá trị tùy ý của y.

Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính bằng \(x = \frac{{3y - 1}}{2}\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {\frac{{3y - 1}}{2};y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 7y =  - 14\\5x + 2y = 45\end{array} \right.\);

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 0,5y =  - 3\\2x - y = 6\end{array} \right.\);

c) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\\frac{2}{3}x + y = 1\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

a) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}15x - 35y =  - 70\\15x + 6y = 135\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được \(41y = 205\) hay \(y = 5\).

Thế \(y = 5\) vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta có \(5x + 2.5 = 45\), suy ra \(x = 7\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (7; 5).

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 6\\2x - y = 6\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được \(0x + 0y = 12\).

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức \(0x + 0y = 12\) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 3 ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\2x + 3y = 3\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được \(0x + 0y = 0\), hệ thức này thỏa mãn với mọi giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của y, giá trị của x được tính bằng hệ thức \(2x + 3y = 3\), suy ra \(x = \frac{{3 - 3y}}{2}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {\frac{{3 - 3y}}{2};y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Đề bài

Sử dụng MTCT, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 3 x + 3y = 1\\2x - \sqrt 3 y = \sqrt 3 \end{array} \right.\);

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2,5x - 3,5y = 0,5\\ - 0,5x + 0,7y = 1\end{array} \right.\);

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 5\\0,4x + y = 1\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

a) Bấm máy tính ta có nghiệm của hệ phương trình đã cho là \(\left( {\frac{{4\sqrt 3 }}{9};\frac{{ - 1}}{9}} \right)\).

b) Bấm máy tính ta thấy màn hình hiển thị “No Solution”. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Bấm máy tính ta thấy màn hình hiển thị “No Solution”. Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Đề bài

Tìm a và b để đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm (4; 1) và (-4; -3).

Lời giải chi tiết

Vì đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm (4; 1) và (-4; -3) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4a + b = 1\\ - 4a + b =  - 3\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình ta được \(2b =  - 2\), suy ra \(b =  - 1\).

Thay \(b =  - 1\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(4a - 1 = 1\), suy ra \(a = \frac{1}{2}\).

Vậy với \(b =  - 1\), \(a = \frac{1}{2}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đề bài

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + my = 5\end{array} \right.\).

a) Giải hệ với \(m = 1\).

b) Chứng tỏ rằng hệ đã cho vô nghiệm khi \(m = 6\).

Lời giải chi tiết

a) Với \(m = 1\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + y = 5\end{array} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = 2\\2x + y = 5\end{array} \right.\).

Trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình mới ta được \(5y =  - 3\), suy ra \(y = \frac{{ - 3}}{5}\).

Thay \(y = \frac{{ - 3}}{5}\) vào \(x + 3y = 1\) ta được: \(x + 3.\frac{{ - 3}}{5} = 1\), suy ra \(x = \frac{{14}}{5}\).

Vậy với \(m = 1\) thì hệ phương trình đã cho có nghiệm là \(\left( {\frac{{ - 3}}{5};\frac{{14}}{5}} \right)\).

b) Với \(m = 6\) ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 1\\2x + 6y = 5\end{array} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 ta được hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 6y = 2\\2x + 6y = 5\end{array} \right.\).

Trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình mới ta được \(0x + 0y =  - 3\).

Do không có giá trị nào của y thỏa mãn hệ thức \(0x + 0y =  - 3\) nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho vô nghiệm khi \(m = 6\).

Đề bài

Trong kinh tế học, đường IS là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp thu nhập Y và lãi suất r để duy trì trạng thái cân bằng của thị trường hàng hóa trong nền kinh tế. Đường LM là một phương trình bậc nhất biểu diễn tất cả các kết hợp giữa thu thập Y và lãi suất r duy trì trạng thái cân bằng của thị trường tiền tệ trong nền kinh tế. Trong một nền kinh tế, giả sử mức thu nhập cân bằng Y (tính bằng triệu đô la) và lãi suất cân bằng r thỏa mãn hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}0,06Y - 5\;000r = 240\\0,06Y + 6\;000r = 900\end{array} \right.\).

Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng.

Lời giải chi tiết

Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0,06Y - 5\;000r = 240\\0,06Y + 6\;000r = 900\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình ta được \(11\;000r = 660\), suy ra \(r = 0,06\).

Thay \(r = 0,06\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(0,06Y - 5\;000.0,06 = 240\), suy ra \(Y = 9\;000\).

Vậy mức thu nhập cân bằng là 9 tỷ đô la, lãi suất cân bằng là 0,06.

Đề bài

Phương trình cung và phương trình cầu của một loại thiết bị kĩ thuật số cá nhân mới là:

Phương trình cầu: \(p = 150 - 0,00001x\);

Phương trình cung: \(p = 60 + 0,00002x\);

trong đó p là giá mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng đô la) và x là số lượng đơn vị sản phẩm. Tìm điểm cân bằng của thị trường này, tức là điểm (p; x) thỏa mãn cả hai phương trình cung và cầu.

Lời giải chi tiết

Từ hai phương trình cung và cầu ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}p = 150 - 0,00001x\\p = 60 + 0,00002x\end{array} \right.\)

Trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình ta được: \(0,00003x - 90 = 0\), suy ra \(x = 3\;000\;000\).

Thay \(x = 3\;000\;000\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được \(p = 60 + 0,00002.3\;000\;000 = 120\).

Vậy điểm cân bằng của thị trường là (120; 3 000 000).

Đề bài

Thầy Nam dạy Toán đang thiết kế một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm hai loại câu hỏi, câu hỏi đúng/ sai và câu hỏi nhiều lựa chọn. Bài kiểm tra sẽ được tính trên thang điểm 100, trong đó mỗi câu hỏi đúng/ sai có giá trị 2 điểm và mỗi câu hỏi nhiều lựa chọn có giá trị 4 điểm. Thầy Nam muốn số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/ sai.

a) Gọi số câu hỏi đúng/ sai là x, số câu hỏi nhiều lựa chọn là y \(\left( {x,y \in \mathbb{N}*} \right)\). Viết hệ hai phương trình biểu thị số lượng của từng loại câu hỏi.

b) Giải hệ phương trình trong câu a để biết số lượng câu hỏi mỗi loại trong bài kiểm tra bao nhiêu.

Lời giải chi tiết

a) Vì số câu hỏi nhiều lựa chọn gấp đôi số câu hỏi đúng/ sai nên \(y = 2x\).

Vì bài kiểm tra sẽ được tính trên thang điểm 100, trong đó mỗi câu hỏi đúng/ sai có giá trị 2 điểm và mỗi câu hỏi nhiều lựa chọn có giá trị 4 điểm nên ta có: \(2x + 4y = 100\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2x\\2x + 4y = 100\end{array} \right.\).

b) Thay \(y = 2x\) vào phương trình thứ hai của hệ ta được: \(2x + 4.2x = 100\), suy ra \(x = 10\).

Thay \(x = 10\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: \(y = 2.10 = 20\).

Giá trị \(x = 10\) và \(y = 20\) thỏa mãn điều kiện của hệ.

Vậy có 10 câu hỏi đúng/ sai và 20 câu hỏi nhiều lựa chọn trong bài kiểm tra.