Bài 1. Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Đề bài

Giả sử (x; y) là nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn \(4x - 2y = 6.\)

a) Hoàn thành bảng sau đây:

 

Từ đó suy ra 5 nghiệm của phương trình đã cho.

b) Biểu diễn y theo x. Từ đó cho biết phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải chi tiết

a)

 

Vậy 5 nghiệm của phương trình đã cho là: (-2; -7), (-1; -5), (0; -3); (1; -1), (2; 1).

b) Vì \(4x - 2y = 6\) nên \(y = \frac{{4x - 6}}{2} = 2x - 3\). Với mỗi giá trị của x tùy ý cho trước, ta luôn tìm được một giá trị tương ứng của y. Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Đề bài

Viết nghiệm và biểu diễn hình học tất cả các nghiệm của mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau:

a) \(3x - 2y = 5\);

b) \(0x + 2y = 4\);

c) \(2x + 0y =  - 3\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(3x - 2y = 5\) nên \(y = \frac{{3x - 5}}{2}\).

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình là \(\left( {x;\frac{{3x - 5}}{2}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Đường thẳng d: \(3x - 2y = 5\) đi qua hai điểm A(0; -2,5) và \(B\left( {\frac{5}{3};0} \right)\).

Do đó, hình biểu diễn tất cả các nghiệm của mỗi phương trình đã cho là:

b) Vì \(0x + 2y = 4\) nên \(y = 2\).

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình là: \(\left( {x;2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0; 2).

Đó là đường thẳng d: \(y = 2\).

c) Vì \(2x + 0y =  - 3\) nên \(x =  - 1,5\).

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình là \(\left( { - 1,5;y} \right)\) với \(y \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Mỗi nghiệm này là tọa độ của một điểm thuộc đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm (-1,5; 0).

Đó là đường thẳng d: \(x =  - 1,5\).

Đề bài

Cho phương trình bậc nhất hai ẩn \(mx + y =  - 2\).

a) Xác định m để cặp số (1; -2) là một nghiệm của phương trình đã cho.

b) Viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình với m tìm được ở câu a.

Lời giải chi tiết

a) Với \(x = 1;y =  - 2\) thay vào phương trình \(mx + y =  - 2\) ta có: \(m - 2 =  - 2\) nên \(m = 0\).

Vậy với \(m = 0\) thì cặp số (1; -2) là một nghiệm của phương trình đã cho.

b) Thay \(m = 0\) vào phương trình \(mx + y =  - 2\) ta có: \(0.x + y =  - 2\) nên \(y =  - 2\).

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: (x; -2) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Đề bài

Bác Hương bán hàng tạp hóa và có (đủ nhiều) các tờ tiền lẻ loại 2 nghìn đồng và 5 nghìn đồng. Bác cần trả lại cho một người mua hàng 25 nghìn đồng.

a) Gọi x là số tờ tiền loại 2 nghìn đồng, y là số tờ tiền loại 5 nghìn đồng mà bác Hương cần trả lại cho khách \(\left( {x,y \in \mathbb{N}} \right)\). Hãy lập phương trình bậc nhất hai ẩn đối với x và y.

b) Hãy chỉ ra một nghiệm (x; y) với \(x,y \in \mathbb{N}\) của phương trình lập ở câu a để tìm một phương án trả lại tiền thừa cho khách giúp bác Hương.

Lời giải chi tiết

a) Số tiền mà bác Hương cần trả lại là 25 nghìn đồng nên ta có phương trình: \(2x + 5y = 25\) (1).

b) Với \(y = 1\), thay vào phương trình (1) ta có: \(2x + 5.1 = 25\) nên \(x = 10\) (thỏa mãn điều kiện). Suy ra, (10; 1) là một nghiệm của phương trình (1). Do đó, bác Hương cần trả lại 10 tờ 2 nghìn đồng và 1 tờ 5 nghìn đồng cho khách hàng.

Đề bài

Một đội công nhân cần phải lắp đường ống dẫn nước trên một đoạn phố thẳng dài 65m. Có hai loại ống dài 3m và 5m. Hãy chỉ ra ít nhất hai phương án lắp ống để không cần phải cưa ống ra (coi rằng các mối nối là không đáng kể).

Lời giải chi tiết

Gọi số ống loại 3m và 5m dùng để lắp đường ống dẫn nước trên một đoạn phố lần lượt là x và y (\(x,y \in \mathbb{N}*\)).

Vì đường ống dẫn nước cần lắp dài 65m nên ta có phương trình: \(3x + 5y = 65\) (1)

Thay \(x = 5\) vào phương trình (1) ta có: \(3.5 + 5y = 65\) nên \(y = 10\) (thỏa mãn điều kiện).

Thay \(x = 10\) vào phương trình (1) ta có: \(3.10 + 5y = 65\) nên \(y = 7\) (thỏa mãn điều kiện).

Do đó, hai phương án lắp ống để không cần phải cưa ống là: Dùng 5 ống loại 3m và 10 ống loại 5m hoặc dùng 10 ống loại 3m và 7 ống loại 5m.

Đề bài

Cho các cặp số (-2; 2), (1; 1), (4; 1), (8; -2) và hai phương trình:

\(x + 3y = 4\); (1)

\(2x - 5y =  - 3\). (2)

a) Những cặp số nào là nghiệm của phương trình (1)?

b) Cặp số nào là nghiệm của hệ gồm hai phương trình (1) và phương trình (2)?

c) Vẽ hai đường thẳng \(d:x + 3y = 4\) và \(d':2x - 5y =  - 3\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ để minh họa kết luận ở câu b.

Lời giải chi tiết

a) Với \(x =  - 2,y = 2\) ta có: \( - 2 + 3.2 = 4\) nên (-2; 2) là nghiệm của phương trình \(x + 3y = 4\).

Với \(x = 1,y = 1\) ta có: \(1 + 3.1 = 4\) nên (1; 1) là nghiệm của phương trình \(x + 3y = 4\).

Với \(x = 4,y = 1\) ta có: \(4 + 3.1 = 7 \ne 4\) nên (4; 1) không là nghiệm của phương trình \(x + 3y = 4\).

Với \(x = 8,y =  - 2\) ta có: \(8 + 3.\left( { - 2} \right) = 2 \ne 4\) nên (8; -2) là nghiệm của phương trình \(x + 3y = 4\).

Vậy cặp số là nghiệm của phương trình (1) là (-2; 2), (1; 1).

b) Với \(x = 1,y = 1\) ta có: \(2.1 - 5.1 =  - 3\) nên (1; 1) là nghiệm của phương trình \(2x - 5y =  - 3\).

Vậy cặp số (1; 1) là nghiệm của hệ hai phương trình gồm phương trình (1) và phương trình (2).

c) Đường thẳng \(x + 3y = 4\) đi qua hai điểm \(E\left( {0;\frac{4}{3}} \right)\) và \(D\left( {4;0} \right)\).

Đường thẳng \(2x - 5y =  - 3\) đi qua hai điểm \(F\left( {0;\frac{3}{5}} \right)\) và \(G\left( {\frac{{ - 3}}{2};0} \right)\).

Do đó, đồ thị hàm số của hai đường thẳng \(x + 3y = 4\) và \(2x - 5y =  - 3\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ là:

Đề bài

Tìm a và b để hai phương trình \(ax - 2y = 1\) và \(x + by = 3\) nhận cặp số (1; -2) làm nghiệm chung.

Lời giải chi tiết

Vì (1; -2) là nghiệm của phương trình \(ax - 2y = 1\) nên \(a.1 - 2.\left( { - 2} \right) = 1\) nên \(a =  - 3\).

Vì (1; -2) là nghiệm của phương trình \(x + by = 3\) nên \(1 - 2b = 3\) nên \(b =  - 1\).

Vậy \(a =  - 3\), \(b =  - 1\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đề bài

Bằng cách vẽ các đường thẳng thích hợp trên cùng một mặt phẳng tọa độ, hãy tìm nghiệm của mỗi hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x =  - 4\\3x - y = 5\end{array} \right.\);

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 4\\2y =  - 3\end{array} \right.\).

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng (d): \(2x =  - 4\) là đường thẳng song song với trục tung và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -2.

Đường thẳng (d’): \(3x - y = 5\) đi qua hai điểm (0; -5) và \(\left( {\frac{5}{3};0} \right)\).

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) trên cùng mặt phẳng tọa độ:

Từ đồ thị ta thấy, điểm (-2; -11) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b) Đường thẳng (d): \(x - 2y = 4\) đi qua hai điểm A(0; -2) và B(4; 0).

Đường thẳng (d’): \(2y =  - 3\) là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ \(y =  - 1,5\).

Vẽ hai đường thẳng (d) và (d’) trên cùng mặt phẳng tọa độ:

Từ đồ thị ta thấy, điểm (1; -1,5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.