Bài 5.9 trang 78 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = 2,{u_{n + 1}} = {u_n} + \frac{2}{{{3^n}}},n \ge 1\). Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}.\)

a) Tính \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n}\) theo n.

b) Tính \({u_n}\) theo n.

c) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \({v_n} = \frac{2}{{{3^n}}}.\) Do đó, \({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = 2\left( {\frac{{1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}}}{{1 - \frac{1}{3}}}} \right) = 3.\left( {1 - \frac{1}{{{3^{n + 1}}}}} \right)\)

Mặt khác:

\({v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + \left( {{u_3} - {u_2}} \right) + ... + \left( {{u_{n + 1}} - {u_n}} \right) = {u_{n + 1}} - {u_1} = {u_{n + 1}} - 2\)

Vậy \({u_n} = 3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left[ {3\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) + 2} \right] = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{{5.3}^n} - 1}}{{{3^n}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \frac{{5 - \frac{1}{{{3^n}}}}}{1} = 5\)