THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 THCS năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam; kỳ thi được diễn ra vào ngày 19 tháng 04 năm 2023. Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Nam : + Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE và CF, M là trung điểm của BC. Hạ MN vuông góc với EF tại N, hai đường thẳng MN và AB cắt nhau tại D. a) Chứng minh N là trung điểm của EF và DEF = MEC. b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AM và EF, L là giao điểm của hai đường thẳng AN và BC. Chứng minh KL vuông góc với BC. + Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O), đường phân giác trong AD (D thuộc BC) cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Hạ BH vuông góc với AE tại H, đường thẳng BH cắt đường tròn (O) tại F (F khác B). Đường thẳng EF cắt hai đường thẳng AC, BC lần lượt tại K, M; hai đường thẳng OE và HK cắt nhau tại L. a) Chứng minh tứ giác AHKF nội tiếp trong đường tròn. b) Chứng minh HB.LE = HE.LK. c) Hai tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM tại A, M cắt nhau tại Q; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh PQ song song với AD. + Tìm tất cả các cặp số nguyên tố (p;q) thỏa mãn: p2 − 1 chia hết cho q và q2 – 4 chia hết cho p.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Long An; kỳ thi được diễn ra vào ngày 16 tháng 04 năm 2023. Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Long An : + Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ AO chứa điểm N, vẽ cát tuyến ABC không đi qua tâm O (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của BC; NM cắt AC, AO lần lượt tại K và H. a) Chứng minh NIOM là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AK.AI = AB.AC. c) AO cắt (O) tại hai điểm P, Q (AP < AQ). Gọi D là trung điểm của HQ. Đường thẳng qua H vuông góc với MD tại S và cắt MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. + Cho đường tròn (O;R), hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm trên cung nhỏ BC (E khác B và C). Gọi M là giao điểm của AB và ED, N là giao điểm của CD và EA. Chứng minh AM + DN >= 22R. + Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: (x + y + 1)(xy + x + y) = 9 + 4(x + y).

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Nam Trực, tỉnh Nam Định; đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Trích dẫn Đề HSG cấp huyện Toán 9 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Nam Trực – Nam Định : + Cho đường tròn (O) và đường thẳng d (không đi qua tâm O) cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Kẻ đường kính CD của đường tròn (O). Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt đường thẳng d tại A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E và cắt BC tại điểm I. 1) Chứng minh: AE là tiếp tuyến của đường tròn (O) và I là trung điểm của BC. 2) Gọi T là giao điểm của DE và BC. Chứng minh: 2 1 1 AT AB AC 3) Chứng minh rằng: DE OI và tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) đồng quy. + Cho m n là các số tự nhiên thỏa mãn 2 2 m n 2023 2022 chia hết cho mn. Chứng minh rằng: m n là hai số lẻ và nguyên tố cùng nhau. + Trên bảng ghi bốn số: 2, 3, 5 và 6. Ta thực hiện một trò chơi như sau: Mỗi lần xóa đi hai số bất kì, chẳng hạn a b và thay thế bằng hai số 2 2 a b a b và 2 2 a b a b đồng thời giữ nguyên hai số còn lại. Hỏi sau một số lần thay đổi có khi nào ta thu được bốn số mới trên bảng đều nhỏ hơn 1 hay không? Vì sao?

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 THCS năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Lào Cai; kỳ thi được diễn ra vào ngày 15 tháng 03 năm 2023; đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Trích dẫn Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THCS năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Lào Cai : + Trên bàn cờ vua kích thước 8 × 8 gồm 64 ô vuông con kích thước 1 x 1. Đặt ngẫu nhiên một quân Tốt vào một ô vuông con kích thước 1 x 1 trên bàn cờ. Tính xác suất để ô vuông con kích thước 1 x 1 mà con Tốt được đặt không có tâm nằm trên đường chéo của bàn cờ và cũng không có cạnh nào nằm trên cạnh của bàn cờ (hình vuông kích thước 8 × 8). + Lúc 6 giờ 30 phút sáng, anh Hùng điều khiển một xe gắn máy khởi hành từ thành phố A đến thành phố B. Khi đi được 3/4 quãng đường, xe bị hỏng nên anh Hùng dừng lại để sửa chữa. Sau 30 phút sửa xe, anh Hùng tiếp tục điều khiển xe gắn máy đó đi đến thành phố B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc ban đầu 10 km/h. Lúc 10 giờ 24 phút sáng cùng ngày, anh Hùng đến thành phố B. Biết rằng quãng đường từ thành phố A đến thành phố B là 160 km và vận tốc của xe trên 3/4 quãng đường đầu không đổi và vận tốc của xe trên 1/4 quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi anh Hùng dừng xe để sửa chữa lúc mấy giờ? + Cho tam giác nhọn ABC không cân nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại E. Từ E kẻ tuyến thứ hai tới đường tròn (O) tại D (D khác A); AD cắt EO tại Q; M là trung điểm của BC. a) Chứng minh 5 điểm A, E, D, M, O cùng thuộc một đường tròn và tứ giác BQOC nội tiếp một đường tròn. b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại B, tiếp tuyến tại C của đường tròn (O) và đường thẳng AD đồng quy tại một điểm. c) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC (H thuộc BC); AD cắt BC tại K. Chứng minh HAK = MAO và KB/KC = AB2/AC2.