Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Tài liệu gồm 67 trang, hướng dẫn một số phương pháp giải bài toán phương trình nghiệm nguyên, kèm các ví dụ minh họa có đáp số và hướng dẫn giải chi tiết. I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương pháp 1 . Sử dụng các tính chất về quan hệ chia hết. Khi giải các phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt các tính chất về chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm ra điểm đặc biệt của các ẩn số cũng như các biểu thức chứa ẩn trong phương trình, từ đó đưa phương trình về các dạng mà ta đã biết cách giải hoặc đưa về những phương trình đơn giản hơn. + Xét số dư hai vế của phương trình để chỉ ra phương trình không có nghiệm, tính chẵn lẻ của các vế. + Đưa phương trình về dạng phương trình ước số. + Phát hiện tính chia hết của các ẩn. + Sử dụng tính đồng dư của các đại lượng nguyên. Phương pháp 2 . Đưa hai vế về tổng các bình phương. Ý tưởng của phương pháp là biến đổi phương trình về dạng vế trái là tổng của các bình phương và vế phải là tổng của các số chính phương. Phương pháp 3 . Sử dụng các tính chất của số chính phương. Một số tính chất của số chính phương thường được dùng trong giải phương trình nghiệm nguyên. + Một số tính chất về chia hết của số chính phương. + Nếu 2 2 a n a1 với a là số nguyên thì n không thể là số chính phương. + Nếu hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương thì mỗi số đếu là số chính phương. + Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong hai số nguyên đó bằng 0. Phương pháp 4 . Phương pháp đánh giá. Trong khi giải các phương trình nghiệm nguyên rất cần đánh giá các miền giá trị của các ẩn, nếu số giá trị mà biến số có thể nhận không nhiều có thể dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra. Để đánh giá được miền giá trị của biến số cần vận dụng linh hoạt các tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức. + Phương pháp sắp thứ tự các ẩn. + Xét khoảng giá trị của các ẩn. + Sử dụng các bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki. Phương pháp 5 . Sử dụng tính chất của phương trình bậc hai. Ý tưởng của phương pháp là quy phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai một ẩn, các ẩn còn lại đóng vai trò tham số. Khi đó các tính chất của phương trình bậc hai thường được sử dụng dưới các dạng như sau: + Sử dụng điều kiện có nghiệm ∆ ≥ 0 của phương trình bậc hai. + Sử dụng hệ thức Vi – et. + Sử dụng điều kiện ∆ là số chính phương. Phương pháp 6 . Phương pháp lùi dần vô hạn. Ý tưởng của phương pháp lùi dần vô hạn có thể hiểu như sau: Giả sử (x y z 0 0 0) là nghiệm của f x y z 0. Nhờ những biến đổi và suy luận số học ta tìm được một nghiệm khác (x y z 1 1 1) sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi một tỉ số k nào đó, chẳng hạn 0 1 0 10 1 x kx y ky z kz. Lập luận tương tự ta lại được bộ số nguyên (x y z 2 2 2) thỏa mãn 1 2 1 11 2 x kx y ky z kz. Quá trình cứ tiếp tục dẫn đến 0 00 x y z cùng chia hết cho n k với n là một số tự nhiên tuỳ ý. Điều này xảy ra khi và chỉ khi xyz0. Để rõ ràng hơn ta xét các ví dụ sau. II. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Phương trình nghiệm nguyên rất đa dạng và phong phú, nó có thể là phương trình một ẩn hay nhiều ẩn. Nó có thể là phương trình bậc nhất hoặc bậc cao. Cũng có những phương trình dạng đa thức hoặc dạng lũy thừa. Ta có thể chia phương trình nghiệm nguyên thành một số dạng như sau. 1. Phương trình nghiệm nguyên dạng đa thức. 2. Phương trình nghiệm nguyên dạng phân thức. 3. Phương trình nghiệm nguyên có chứa căn. 4. Phương trình nghiệm nguyên dạng lũy thừa. 5. Hệ phương trình nghiệm nguyên.

Tài liệu gồm 50 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Đào Văn Nam, hướng dẫn một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức AM – GM và bất đẳng thức Bunyakovski để giải toán. A. MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI. + Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn. + Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này. + Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến. + Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt được tại vị trí biên. + Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể. B. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM. C. MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI.

Tài liệu gồm 18 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Phạm Văn Quý, hướng dẫn kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ trong chứng minh bất đẳng thức, đây là dạng toán khó thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi Toán 9 và đề tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. 1. MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG SỬ DỤNG. Tuyển tập 20 bất đẳng thức phụ thường được sử dụng trong bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2. CÁC BÀI TOÁN ÁP DỤNG. 13 ví dụ minh họa có hướng dẫn phương pháp giải. 19 bài tập để học sinh rèn luyện.

Tài liệu gồm 60 trang, tuyển tập 69 bài toán thực tế về hình học có đáp án và lời giải chi tiết; tài liệu được biên soạn bởi quý thầy, cô giáo nhóm Toán Tiểu Học – THCS – THPT Việt Nam. Trích dẫn tài liệu 69 bài toán thực tế về hình học có đáp án và lời giải: Bài 1. Hằng ngày hai anh em An và Bình cùng đi bộ từ nhà ở A để đến trường. Trường của An ở vị trí B, trường của Bình ở vị trí C theo hai hướng vuông góc với nhau. An đi với vận tốc 4 km h và đến trường sau 15 phút. Bình đi với vận tốc 3 km h và đến trường sau 12phút. Tính khoảng cách BC giữa hai trường (làm tròn đến mét). Bài 2. Một người A đang ở trên khinh khí cầu ở độ cao 150m nhìn thấy một vật B trên mặt đất cách hình chiếu của khí cầu xuống đất một khoảng 285m. Tính góc hạ của tia AB. Nếu khinh khí cầu tiếp tục bay lên thẳng đứng thì khi góc hạ của tia AB là 46 thì độ cao của khinh khí cầu là bao nhiêu? (làm tròn đến mét). Bài 3. Một người có mắt cách mặt đất 1,4m, đứng cách tháp Eiffel 400m nhìn thấy đỉnh tháp với góc nâng 39. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét). Bài 4. Một cột đèn cao 8m. Tính góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất lúc nó có bóng trên mặt đất là 5m. Bài 5. Một cái thang dài 4m đang dựa vào tường, chân thang cách chân tường 2m. Tính góc tạo bởi thang với mặt đất và với mặt tường.