THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 phòng Giáo dục và Đào tạo UBND quận Hoàn Kiếm, thành phố Hà Nội (vòng 1); kỳ thi được diễn ra vào ngày 06 tháng 10 năm 2022. Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT Hoàn Kiếm – Hà Nội (vòng 1) : + Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Lấy E là điểm bất kì thuộc đoạn OD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho OF = OC. Đường thẳng đi qua F và vuông góc với FO, cắt BD tại S. Kẻ FH vuông góc với BD tại H. 1) Chứng minh BFD = 90° và SD.SB= SH.SO. 2) Chứng minh FC là tia phân giác của góc BFD. 3) Kẻ ET vuông góc với BF tại T. Chứng minh: ST vuông góc với CF. + Tìm các số nguyên tố a, b sao cho a2 + 3ab + b2 là một số chính phương. + Cho 2022 điểm trên mặt phẳng, sao cho khi ta chọn ra ba điểm bất kỳ trong số chúng, ta đều được ba đỉnh của một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1. Chứng minh tất cả các điểm này đều không nằm ngoài một tam giác có diện tích nhỏ hơn 4.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 phòng Giáo dục và Đào tạo thành phố Hải Dương (vòng 2); kỳ thi được diễn ra vào ngày 01 tháng 10 năm 2022.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Phúc Thọ, thành phố Hà Nội; đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian học sinh làm bài thi là 150 phút (không kể thời gian phát đề). Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 phòng GD&ĐT huyện Phúc Thọ – Hà Nội : + Cho x, y là hai số dương thoả mãn: (x + y)2 >= 6 + 2xy. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x4 – 2×2 + y2 + 6/x2 + 8/y2. + Cho M = (x2 + 2yz – 1)(y2 + 2xz – 1)(1 – z2 – 2xy). Trong đó x, y, z là các số hữu tỉ thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng: M là một số hữu tỉ. + Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là trung điểm AC, F là hình chiếu của I trên BC. Kẻ tia Cx vuông góc AC cắt IF tại E. a) Cho AB = 20cm, HC = 9cm. Tính độ dài AH và AC. b) Chứng minh rằng: HA.HI = HB.HE. c) Chứng minh AE vuông góc với BI.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 9 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 năm học 2022 – 2023 trường THCS Cầu Giấy, quận Cầu Giấy, thành phố Hà Nội; đề thi gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian học sinh làm bài thi là 90 phút (không kể thời gian phát đề); kỳ thi được diễn ra vào ngày … tháng 09 năm 2022. Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2022 – 2023 trường THCS Cầu Giấy – Hà Nội : + Với các số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = 3, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức T = 1/(a + 1) + 1/(b + 1) + 1(c + 1). + Cho tam giác ABC nhọn, không cân (AB < AC). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng qui tại H. Gọi M là trung điểm của BC; I là trung điểm của AH. 1) Chứng minh IEM = 90°. 2) Đường thẳng qua I và vuông góc với HM cắt HM, EF lần lượt tại N, S. Đoạn thẳng IM cắt EF tại J. Chứng minh IJ.IM = IN.IS và SH song song với BC. 3) Đường thẳng SI cắt AB, AC lần lượt tại P, Q. Chứng minh I là trung điểm của PQ. + Xét tập hợp A gồm các số nguyên dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i) Phần tử lớn nhất của tập hợp A là 100. (ii) Với mọi phần tử x thuộc A, nếu x không phải là phần tử nhỏ nhất thì tồn tại a, b, c thuộc A (a, b, c không nhất thiết phân biệt) sao cho x = a + b + c. 1) Chứng minh tất cả các phần tử của tập hợp A đều là số chẵn. 2) Tập hợp A có nhiều nhất là bao nhiêu phần tử?