Tài liệu gồm 94 trang trình bày những ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong việc giải các bài toán về số học, tổ hợp, chứng minh bất đẳng thức … giúp bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán cấp THCS. Khái quát nội dung tài liệu ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong giải toán THCS: CHỦ ĐỀ 1 : CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP, SỐ HỌC VÀ HÌNH HỌC. Lý thuyết : Nguyên lí Dirichlet, Nguyên lý Dirichlet cơ bản, Nguyên lý Dirichlet tổng quát, Nguyên lí Dirichlet mở rộng, Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp. Áp dụng : + Nguyên lí Dirichlet là một công cụ hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. + Nguyên lí Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài toán của hình học. + Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt “thỏ” vào “chuồng” và thoả mãn các điều kiện: Số “thỏ” phải nhiều hơn số chuồng, “thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng phải có thỏ. + Thường thì phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng. Ngoài ra nó còn có thể áp dụng với các nguyên lý khác. [ads] CHỦ ĐỀ 2 : ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. + Việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet giúp chúng ta chứng minh được một số bài toán bất đẳng thức một cách rất gọn gàng và độc đáo. + Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa hết sức quan trọng: Trong 3 số thực bất kì a, b, c bao giờ cũng tìm được hai số cùng dấu. Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức.

Tài liệu gồm 56 trang được biên soạn bởi tác giả Trịnh Bình giới thiệu phương pháp giải và bài tập các dạng toán về quan hệ chia hết trên tập hợp số, tài liệu phù hợp với học sinh lớp 6 muốn tìm hiểu chuyên sâu và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc Trung học Cơ sở. Các dạng toán được đề cập trong tài liệu chuyên đề quan hệ chia hết trên tập hợp số: Dạng toán 1 : Chứng minh tích các số nguyên liên tiếp chia hết cho một số cho trước. Đây là dạng toán cơ bản thường gặp khi chúng ta mới bắt đầu học chứng minh các bài toán chia hết. Sử dụng các tính chất cơ bản như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Chúng ta vận dụng linh hoạt các tích chất cơ bản này để giải các bài toán chứng  minh chia hết về tích các số nguyên liên tiếp. Dạng toán 2 : Phân tích thành nhân tử. Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta phân thích A(x) = D(x).p, còn nếu không thể đưa ra phân tích như vậy ta có thể viết p = kq. + Nếu (k;q) = 1, ta chứng minh A(x) chia hết cho k và q. + Nếu (k;q) khác 1, ta viết A(x) = B(x).C(x) rồi chứng minh B(x) chia hết cho k và C(x) chia hết cho q. Dạng toán 3 : Sử dụng phương pháp tách tổng. Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta biết đổi A(x) thành tổng các hạng tử rồi chứng minh mỗi hạng tử chia hết cho p. Dạng toán 4 : Sử dụng hằng đẳng thức. [ads] Dạng toán 5 : Sử dụng phương pháp xét số dư. Để chứng minh A(n) chia hết cho p ta xét số n có dạng n = kp + r với r thuộc {0; 1; 2 … p – 1}. Dạng toán 6 : Sử dụng phương pháp phản chứng. Để chứng minh A(x) không chia hết cho n, ta giả sử A(x) chia hết cho n sau đó dùng lập luận để chỉ ra mâu thuẩn để chỉ ra điều giả sử là sai. Dạng toán 7 : Sử dụng phương pháp quy nạp. Để kiểm tra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ta làm như sau: + Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. + Giả sử mệnh đề đúng mới n = k chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Dạng toán 8 : Sử dụng nguyên lý Dirichlet. Áp dụng nguyên lý Dirichle vào bài toán chia hết như sau: “Trong m = kn + 1 số có ít nhất n + 1 số chia hết cho k có cùng số dư”. Dạng toán 9 : Xét đồng dư. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của đồng dư thức để giải bài toán chia hết. Dạng toán 10 : Sử dụng tính chất chia hết và áp dụng định lý Fermat nhỏ. Sử dụng tính chất chia hết và áp dụng định lý Fermat nhỏ để giải toán. Dạng toán 11 : Các bài toán quan hệ chia hết với đa thức. Dạng toán 12 : Tìm điều kiện biến để chia hết.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh tài liệu chuyên đề số nguyên tố do tác giả Trịnh Bình tổng hợp, tài liệu gồm 72 trang hướng dẫn giải các dạng toán điển hình về số nguyên tố, giúp học sinh khối lớp 6 ôn thi học sinh giỏi môn Toán. Khái quát nội dung tài liệu chuyên đề số nguyên tố: Phần 1 . Tóm tắt lý thuyết cần nhớ. 1. Định nghĩa số nguyên tố. 2. Một số định lý cơ bản. + Định lý 1: Dãy số nguyên tố là dãy số vô hạn. + Định lý 2: Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích được ra thừa số nguyên tố một cách duy nhất (không kể thứ tự các thừa số). 3. Cách nhận biết số nguyên tố. 4. Số các ước số và tổng các ước số. 5. Hai số nguyên tố cùng nhau. 6. Một số định lý đặng biệt. + Định lý 1: Định lý Đirichlet: Tồn tại vô số số nguyên tố p có dạng: p = ax + b (x thuộc N, a, b là hai số nguyên tố cùng nhau). + Định lý 2: Định lý Tchebycheff: Trong khoảng từ số tự nhiên n đến số tự nhiên 2n có ít nhất một số nguyên tố (n > 2). + Định lý 3: Định lý Vinogradow: Mọi số lẻ lớn hơn 3^3 là tổng của 3 số nguyên tố. [ads] Phần 2 . Các dạng toán thường gặp. + Dạng toán 1. Sử dụng phương pháp phân tích thừa số. + Dạng toán 2. Tìm số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện cho trước. + Dạng toán 3. Nhận biết số nguyên tố, sự phân bố số nguyên tố trong N. + Dạng toán 4. Các bài toán chứng minh số nguyên tố. + Dạng toán 5. Có bao nhiêu số nguyên tố dạng ax + b (x thuộc N, (a,b) = 1). + Dạng toán 6. Áp dụng định lý Fermat. + Dạng toán 7. Các bài toán về các số nguyên tố cùng nhau. + Dạng toán 8. Giải phương trình nghiệm nguyên nhờ tính chất số nguyên tố. + Dạng toán 9. Các bài toán liên quan đến số nguyên tố. Phần 3 . Tuyển chọn các bài toán quan hệ chia hết trong các đề thi toán THCS. Phần 4 . Hướng dẫn các bài toán chia hết trong các đề thi toán THCS.

Tài liệu chuyên đề phương trình đại số gồm 56 trang được tổng hợp bởi tác giả Trịnh Bình, hướng dẫn phương pháp giải các bài toán phương trình đại số, giúp học sinh học tốt chương trình Đại số lớp 9 và ôn tập chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. CHỦ ĐỀ 1 . PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO. Để giải phương trình đa thức bậc cao chúng ta thường chuyển phương trình đó về dạng phương trình tích. Phương trình bậc 3: Thông thường để giải được phương trình bậc 3 chúng ta phải tìm được một nghiệm của phương trình, sau đó phân tích thành nhân tử và chuyển về giải phương trình bậc 2. Phương trình bậc 4: Để giải phương trình bậc 4 chúng ta thường nhẩm một nghiệm và phân tích phương trình bậc 4 thành tích của một đa thức bậc 3 và đa thức bậc nhất sau đó dùng các phương pháp để giải phương trình bậc 3 hoặc phân tích thành tích hai tam thức bậc 2, hoặc đặt ẩn phụ chuyển về giải phương trình bậc 2. + Dạng 1. Phương trình trùng phương: $a{x^4} + b{x^2} + c = 0$ $(a \ne 0).$ + Dạng 2. Phương trình có dạng: ${(x + m)^4} + {(x + n)^4} = p$ $(p > 0).$ + Dạng 3. Phương trình có dạng: $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e$ trong đó $a + b = c + d.$ + Dạng 4. Phương trình có dạng: $\left( {a{x^2} + {b_1}x + c} \right)\left( {a{x^2} + {b_2}x + c} \right) = m{x^2}.$ + Dạng 5. Phương trình có dạng: $(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e{x^2}$ trong đó $ab = cd.$ + Dạng 6. Phương trình có dạng: ${a_1}{\left( {b{x^2} + {c_1}x + d} \right)^2}$ $ + {a_2}\left( {b{x^2} + {c_2}x + d} \right)$ $ = A{x^2}.$ + Dạng 7. Phương trình có dạng: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} \pm bx + a = 0.$ + Dạng 8. Phương trình có dạng: $a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} \pm kbx + {k^2}a = 0$ $(k > 0).$ Phương trình cao hơn bậc 4: Đối với các phương trình bậc cao hơn 4 phương pháp chung là dùng cách đưa về dạng phương trình tích hoặc đặt ẩn phụ để đưa về giải các phương trình bậc thấp hoặc với nhiều bài toán chúng ta nên lưu tâm tới việc có thể sử dụng phương pháp đánh giá để giải toán. [ads] CHỦ ĐỀ 2 . PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC. Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình (tức là tìm giá trị của ẩn làm tất cả các mẫu thức của phương trình khác 0). Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho. Một số dạng phương trình phân thức thường gặp: + Dạng 1. Phương trình có dạng: $\frac{{{a_1}}}{{x + {b_1}}} + \frac{{{a_2}}}{{x + {b_2}}} + \ldots + \frac{{{a_n}}}{{x + {b_n}}} = A.$ + Dạng 2. Phương trình có dạng: $\frac{{{a_1}x + {b_1}}}{{x + {c_1}}} + \frac{{{a_2}x + {b_2}}}{{x + {c_2}}} + \ldots + \frac{{{a_n}x + {b_n}}}{{x + {c_n}}} = A.$ + Dạng 3. Phương trình có dạng: $\frac{{mx}}{{a{x^2} + {b_1}x + c}} + \frac{{nx}}{{a{x^2} + {b_2}x + c}} = p$, $\frac{{a{x^2} + {b_1}x + c}}{{a{x^2} + {b_2}x + c}} + \frac{{a{x^2} + {d_1}x + c}}{{a{x^2} + {d_2}x + c}} = 0$, $\frac{{a{x^2} + {b_1}x + c}}{{a{x^2} + {b_2}x + c}} + \frac{{px}}{{a{x^2} + dx + c}} = 0.$ Dạng 4. Phương trình có dạng: ${x^2} + {\left( {\frac{{ax}}{{x + a}}} \right)^2} = b$ với $a \ne 0$, $x \ne – a.$ Dạng 5. Sử dụng phương ph{p đ{nh gi{ để giải phương trình chứa phân thức CHỦ ĐỀ 3 . PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI. Để giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối cần khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta cần nhớ giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu nó có giá trị không âm, bằng số đối của nó nếu nó có giá trị âm. Do đó để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét các giá trị làm biểu thức âm hoặc không âm.