Thứ Bảy ngày 03 tháng 04 năm 2021, trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, quận 5, thành phố Hồ Chí Minh tổ chức kỳ thi Olympic truyền thống 30 tháng 4 môn Toán lớp 11 lần thứ XXVI (26) năm 2021. Đề Olympic 30 tháng 4 Toán 11 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM được biên soạn theo hình thức tự luận, đề gồm 01 trang với 05 bài toán, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Trích dẫn đề Olympic 30 tháng 4 Toán 11 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM : + Với mỗi “bộ số đẹp” x, y ta có thể tạo ra 1 “bộ số đẹp” mới bởi 1 trong 2 phép biến đổi: hoặc đổi dấu của 1 trong 2 số hoặc cộng 1 số nguyên k nào đó vào cả 2 số sao cho x k y k là “bộ số đẹp”. Chứng minh rằng với bất kỳ 2 bộ số đẹp x, y và z, t cho trước ta luôn có thể biến đổi từ x, y thành z, t sau hữu hạn các bước biến đổi như trên. + Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn O. Gọi A B C là chân đường cao hạ từ các đỉnh A B C. Một đường tròn qua B C tiếp xúc với cung nhỏ BC của O tại 1 A. Các điểm 1 1 B C xác định tương tự. a. Chứng minh rằng 1 1 cot cot A B B A C C. b. Vẽ các hình bình hành 1 1 B ABX C ACY. Chứng minh rằng các điểm 1 X Y A và A0 thuộc một đường tròn với AA0 là đường kính của O. c. Vẽ các hình bình hành 1 2 1 2 1 2 BACA CB AB AC BC. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C 2 2 2 đi qua trực tâm của tam giác ABC. + Bộ hai số nguyên khác không x, y được gọi là “bộ số đẹp” nếu x là số lẻ, y là số chẵn x, y nguyên tố cùng nhau và 2 2 x y là số chính phương.
Nguồn: toanmath.com
