Ngày 20 tháng 04 năm 2019, cụm các trường THPT chuyên khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ liên kết tổ chức kỳ thi giao lưu học sinh giỏi Toán 11 lần thứ 12 năm học 2018 – 2019. Đề thi HSG Toán 11 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ được biên soạn theo dạng đề tự luận với 5 bài toán, đề thi gồm 1 trang, học sinh làm bài trong khoảng thời gian 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết và thang điểm. Trích dẫn đề thi HSG Toán 11 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ : + Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với BC, CA, AB ở D, E, F. Đường thẳng qua A song song BC cắt DE, DF lần lượt tại M, N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN cắt đường tròn (I) tại điểm L khác D. a) Chứng minh A, K, L thẳng hàng. b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại M, N cắt EF tại U, V. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN. [ads] + Cho đa giác lồi n đỉnh A0A1 … An-1 (n ≥ 2). Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác được tô bởi một trong k màu sao cho không có hai đoạn thẳng nào cùng xuất phát từ một đỉnh cùng màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k. + Cho p là số nguyên tố có dạng 12k + 11. Một tập con S của tập M = {1; 2; 3 … p – 2; p – 1} được gọi là “tốt” nếu như tích của tất cả các phần tử của S không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của M\S. Ký hiệu ΔS hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia ΔS cho p xét trên mọi tập con tốt của M có chứa đúng (p – 1)/2 phần tử.
Nguồn: toanmath.com
