0912 699 269

Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Thư viện nhà trường - Phiên bản 3.0

Liên hệ: 0912 699 269  Đăng nhập  Đăng ký

Bài toán về quỹ tích - tập hợp điểm

Tài liệu gồm 59 trang, tuyển chọn bài toán về quỹ tích – tập hợp điểm hay và khó, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc THCS. I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích). Một hình H được gọi là tập hợp điểm của những điểm M thoả mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa tính chất T. 2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm. Để tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất T ta làm như sau: Bước 1: Tìm cách giải: – Xác định các yếu tố cố định và không đổi. – Xác định các điều kiện của điểm M. – Dự đoán tập hợp điểm. Bước 2: Trình bày lời giải: – Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H. – Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ thuộc vào hình H, hoặc một phần B của hình H (nếu được). – Phần đảo: Chứng minh mọi điểm thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn) có tính chất T. Thường làm như sau: + Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn), giả sử tính chất T gồm n điều kiện. + Dựng một hình để chứng minh M có tính chất T sao cho M thoả mãn n − 1 điều kiện trong tính chất T và chứng minh M có thoả mãn điều kiện còn lại. – Kết luận:Tập hợp điểm M là hình H. Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình H. Chú ý: – Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm. – Nếu bài toán chỉ hỏi “Điểm M chuyển động trên đường nào?” thì ta chỉ trình bày phần thuận, phàn giới hạn và phàn kết luận mà không cần không chứng minh phần đảo. – Giải bài toán tập hợp điểm thường là tìm cách đưa về tập hợp điểm cơ bản đã học. – Để khỏi vẽ hình lại khi chứng minh phần đảo tên các điểm trong phần đảo nên giữ nguyên như phần thuận. 3. Một số tập hợp điểm cơ bản. a) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc một phần đường trung trực. Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cố định là đường trung trực d của đoạn thẳng AB. b) Tập hợp điểm là tia phân giác. Định lí: Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy (khác góc bẹt) và cách đều hai cạnhcủa góc là tia phân giác của góc đó. Hệ quả: Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳngcắt nhau xOx’ và yOy’ là bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành, bốn tia này tạo thành hai đường thẳng vuông góc với nhau tại giao điểm O của hai đường thẳng đó. c) Tập hợp điểm là đường thẳng song song. Định lý 1: Tập hợp các điểm M cách đường thẳng h cho trước một khoảng bằng a không đổi là hai đường thẳng song song với đường thắng đã cho và cách đường thẳng đó bằng a. Định lí 2: Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho. d) Tập hợp điểm là đường tròn, một phần của đường tròn, cung chứa góc. + Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O bán kính r. + Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường tròn đường kính AB. + Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo không đổi là α là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN IV. HƯỚNG DẪN GIẢI

Nguồn: toanmath.com

Đọc Sách

Chuyên đề đường tròn ôn thi vào lớp 10
Tài liệu gồm 26 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề đường tròn, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc. SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN Định nghĩa: Đường tròn tâm O bán kính R 0 là hình gồm các điểm cách điểm O một khoảng R kí hiệu là (O;R) hay (O). + Đường tròn đi qua các điểm A A … A 1 2 n gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác A A … A 1 2 n. + Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác A A … A 1 2 n gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó. Những tính chất đặc biệt cần nhớ: + Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp. + Trong tam giác đều tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó. + Trong tam giác thường: Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó. Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó. PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm A A … A 1 2 n cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm A A … A 1 2 n cách đều điểm O cho trước. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN 1. Khi một đường thẳng có hai điểm chung A B với đường tròn (O) ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi đó ta có những kết quả quan trọng sau: Nếu M nằm ngoài đoạn AB thì MA MB MO R 2 2; Nếu M nằm trong đoạn AB thì MA MB R MO 2 2. Mối liên hệ khoảng cách và dây cung: 2 2 2 AB R OH 4. 2. Khi một đường thẳng chỉ có một điểm chung H với đường tròn (O) ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay là tiếp tuyến của đường tròn (O). Điểm H gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (O). Như vậy nếu là tiếp tuyến của (O) thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: + Điểm đó cách đều hai tiếp điểm. + Tia kẻ từ điểm đó đến tâm O là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến. + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. + Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó. 3. Khi một đường thẳng và đường tròn (O) không có điểm chung ta nói đường thẳng và đường tròn (O) không giao nhau. Khi đó OH R. 4. Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác. 5. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc B và góc C. Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN Xét hai đường tròn (O;R) và (O’;R’): A. Hai đường tròn tiếp xúc nhau: Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau thì có thể xảy ra 2 khả năng: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài; Hai đường tròn tiếp xúc trong. B. Hai đường tròn cắt nhau: Khi hai đường tròn 1 2 O O cắt nhau theo dây AB thì O O AB 1 2 tại trung điểm H của AB. Hay AB là đường trung trực của O O1 2. Khi giải toán liên quan dây cung của đường tròn, hoặc cát tuyến ta cần chú ý kẻ thêm đường phụ là đường vuông góc từ tâm đến các dây cung.
Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông ôn thi vào lớp 10
Tài liệu gồm 17 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc. Hệ thức về cạnh và đường cao Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ngoài việc nắm vững các kiến thức về định lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải nắm vững các kiến thức sau: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Chú ý: Diện tích tam giác vuông: 1 2 S ab. Tỉ số lượng giác của góc nhọn 1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn (hình) được định nghĩa như sau: sin cos tan cot AB AC AB AC BC BC AC AB. + Nếu là một góc nhọn thì 0 sin 1 0 cos 1 tan 0 cot 0. 2. Với hai góc mà 0 90 ta có: sin cos cos sin tan cot cot tan. Nếu hai góc nhọn và có sin sin hoặc cos cos thì 3 2 2 sin cos 1 cot 1 tg g. 4. Với một số góc đặc biệt ta có: 0 0 0 0 1 2 sin 30 cos 60 sin 45 cos 45 2 2 0 0 0 0 3 1 cos 30 sin 60 cot60 tan 30 2 3 0 0 0 0 tan 45 cot 45 1 cot 30 tan 60 3. Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 1. Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng: a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc kề. b) Cạnh góc vuông kia nhân với tan của góc đối hay nhân với cot của góc kề. 2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam giác vuông đó.
Chuyên đề bất đẳng thức ôn thi vào lớp 10
Tài liệu gồm 109 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề bất đẳng thức, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (CÔ SI) Cho các số thực không âm abc khi đó ta có: 1. a b ab 2. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b. 2. 3 a b c abc 3. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi abc. Các bất đẳng thức 1 và 2 gọi là bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số thực không âm (còn gọi là bất đẳng thức Cô si hay bất đẳng thức AM – GM). Một số kỹ thuật vận dụng bất đẳng thức Cô-si: 1. Dự đoán dấu bằng để phân tích số hạng và vận dụng bất đẳng thức Cô si. 2. Kỹ thuật ghép đối xứng. 3. Kỹ thuật cô si ngược dấu. 4. Phương pháp đặt ẩn phụ. BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR Cho xyz là các số thực không âm và số thực dương t. Khi đó ta có: xx yx z yy zy x zz yz x. Đây là bất đẳng thức có khá nhiều ứng dụng và tương đối chặt nhiều bài toán BĐT chỉ là hệ quả của BĐT này. BẤT ĐẲNG THỨC ABEL Cho hai dãy số thực: 1 2 n aa a và 123 n bbb b. Đặt 1 2 … k k S aa a với k n 1 2 3 và m SS S M SS S min max. Khi đó ta có: 1 11 2 2 1 A a b a b a b Mb n n. BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI 1. Những kỹ năng vận dụng cơ bản. 2. Kỹ thuật tách ghép. 3. Kỹ thuật thêm bớt. 4. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Chuyên đề hệ phương trình ôn thi vào lớp 10
Tài liệu gồm 108 trang, hướng dẫn phương pháp giải và tuyển chọn các bài tập chuyên đề hệ phương trình, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh lớp 9 ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán; các bài toán trong tài liệu được trích từ các đề thi tuyển sinh lớp 10 môn Toán của các sở GD&ĐT và các trường THPT chuyên trên toàn quốc. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1 Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi. Tính chất: Nếu x y 0 0 là một nghiệm thì hệ y x 0 0 cũng là nghiệm. Cách giải: Đặt S xy P xy điều kiện 2 S P 4 quy hệ phương trình về 2 ẩn S P. HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 Một hệ phương trình 2 ẩn x y được gọi là đối xứng loại 2 nếu trong hệ phương trình ta đổi vai trò x y cho nhau thì phương trình trở thành phương trình kia. Tính chất: Nếu x y 0 0 là 1 nghiệm của hệ thì y x 0 0 cũng là nghiệm. Phương pháp giải: Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng 0 x y x y f xy f xy. HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP ĐẲNG CẤP Là những hệ chứa các phương trình đẳng cấp. Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp. Một số hệ phương trình tính đẳng cấp được giấu trong các biểu thức chứa căn đòi hỏi người giải cần tinh ý để phát hiện. Phương pháp chung để giải hệ dạng này là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật cơ bản như: Thế / biến đổi các phương trình về dạng tích,cộng trừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả có dạng đặc biệt. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Đặt ẩn phụ là việc chọn các biểu thức f xy gxy trong hệ phương trình để đặt thành các ẩn phụ mới làm đơn giản cấu trúc của phương trình, hệ phương trình. Qua đó tạo thành các hệ phương trình mới đơn giản hơn, hay quy về các dạng hệ quen thuộc như đối xứng, đẳng cấp. Để tạo ra ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt các phương trình trong hệ thông qua các kỹ thuật: Nhóm nhân tử chung, chia các phương trình theo những số hạng có sẵn, nhóm dựa vào các hằng đẳng thức, đối biến theo đặc thù phương trình. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ HẰNG ĐẲNG THỨC Điểm mấu chốt khi giải hệ bằng phương pháp biến đổi theo các hằng đẳng thức. KHI TRONG HỆ CÓ CHỨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 THEO ẨN x HOẶC y Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x hoặc y ta có thể nghỉ đến các hướng xử lý như sau: Nếu ∆ chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp. Nếu ∆ không chẵn ta thường xử lý theo cách: Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có ∆ chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức. Dùng điều kiện ∆ ≥ 0 để tìm miền giá trị của biến x y. Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị x y vừa tìm được. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ x y. Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN – GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp.