THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 trường THPT chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội, thành phố Hà Nội; đề thi dùng riêng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin học (vòng 2), có đáp án và lời giải chi tiết. Trích dẫn Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội : + Cho tam giác ABC. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại các điểm D, E, F. Hai đường thẳng MG, NE cắt nhau tại điểm P. Chứng minh rằng: a) EG song song với MN. b) Điểm P thuộc đường tròn (I). + Bảy lục giác đều được sắp xếp và tô màu bằng hai màu trắng, đen như ở Hình 1. Mỗi lần cho phép chọn ra một lục giác đều, đổi màu của lục giác đó và của tất cả các lục giác đều chung cạnh với lục giác đó (trắng thành đen và đen thành trắng). Chứng minh rằng dù có thực hiện cách làm trên bao nhiêu lần đi nữa, cũng không thể nhận được các lục giác đều được ô màu như ở Hình 2. + Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n > 102023 sao cho tổng tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn n là một số nguyên tố cùng nhau với n.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (chung) năm 2023 trường THPT chuyên Đại học Sư Phạm Hà Nội, thành phố Hà Nội; đề thi dùng cho mọi thí sinh (vòng 1), có đáp án và lời giải chi tiết. Trích dẫn Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chung) năm 2023 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội : + Một khay nước có nhiệt độ 125◦F khi bắt đầu cho vào tủ đá. Ở trong tủ đá, cứ sau mỗi giờ, nhiệt độ khay nước lại giảm đi 20%. Hỏi sau bao nhiêu giờ, nhiệt độ khay nước chỉ còn là 64◦F. + Cho hình bình hành ABCD có ABC = 120◦ và BC = 2AB. Dựng đường tròn (O) có đường kính AC. Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB, AD với đường tròn (O). Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng BC, BD tại H, S. Chứng minh a) Tam giác ABD là tam giác vuông. b) Tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp. c) SC là tiếp tuyến của dường tròn (O). + Trên bảng ta viết đa thức P(x) = ax2 + bx + c (a khác 0). Ta viết lên bảng đa thức mới P1(x) = P(x + 1) + P(x − 1)2 rồi xóa đi đa thức P(x). Ta viết lên bảng đa thức mới P2(x) = P1(x + 1) + P1(x − 1)2 rồi xóa đi đa thức P1(x). Ta cứ tiếp tục làm như thế nhiều lần. Chứng minh rằng nếu cứ làm như vậy nhiều lần thì đến một lúc nào đó ta nhận được một đa thức không có nghiệm.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán (chuyên) năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bạc Liêu; kỳ thi được diễn ra vào ngày 31 tháng 05 năm 2023. Trích dẫn Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Bạc Liêu : + Cho biểu thức H = n2 – n – 5. Tìm tất cả các số nguyên dương n để H là một số chính phương. Tìm các số nguyên x, y sao cho: x(x + y)2 = y – 1. + Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). H là trung điểm của BC; M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng BH (M khác B; M khác H). Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA sao cho CN = BM. Gọi I là trung điểm của MN. a) Chứng minh bốn điểm O, M, H, I cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi K là giao điểm của OI và AB. Chứng minh MNK là tam giác đều. c) Xác định vị trí của điểm M để IAB có chu vi nhỏ nhất. + Cho đường tròn (O;R) có dây BC cố định (BC < 2R) và điểm A trên cung lớn BC (A khác B; A khác C; A không là điểm chính giữa cung lớn BC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC; E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên đường kính AK. a) Chứng minh HE vuông góc AC. b) Chứng minh SABC/AB.BC.AC = 1/4R. c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp HEF là một điểm cố định khi điểm A di động trên cung lớn BC.

THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán (vòng 2 – chuyên Toán và chuyên Tin) năm học 2023 – 2024 trường Đại học Khoa học Huế, tỉnh Thừa Thiên Huế; kỳ thi được diễn ra vào ngày 30 tháng 05 năm 2023. Trích dẫn Đề tuyển sinh lớp 10 chuyên môn Toán (vòng 2) năm 2023 – 2024 trường ĐHKH Huế : + Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = (m + 1)x − 2m + 3 (m là tham số) và parabol (P): y = x2. Chứng minh (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ hai giao điểm, xác định m để |x1|, |x2| là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10. + Tìm tất cả các số nguyên n để A = n2 + 4n + 7 là một số chính phương. Chứng minh rằng M = (p − 1)(p + 1) chia hết cho 12 với p là số nguyên tố lớn hơn 3. + Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm C thuộc đường tròn (O) sao cho C và O cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm C cắt đường thẳng AB tại D. Đường tròn tâm D bán kính DC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E, cắt đường tròn (O’) tại F và G trong đó F nằm bên trong đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của DO với CE, K là giao điểm của DO’ và FG. a) Chứng minh DC2 = DA.DB và DG là tiếp tuyến của đường tròn (O’). b) Chứng minh tứ giác OHKO’ nội tiếp. c) Chứng minh CE, FG và AB đồng quy.