0912 699 269

Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Quản lý thư viện điện tử -

Liên hệ: 0912 699 269  Đăng nhập  Đăng ký

Bài toán về quỹ tích - tập hợp điểm

Tài liệu gồm 59 trang, tuyển chọn bài toán về quỹ tích – tập hợp điểm hay và khó, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập thi vào lớp 10 môn Toán và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc THCS. I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa tập hợp điểm (quỹ tích). Một hình H được gọi là tập hợp điểm của những điểm M thoả mãn tính chất T khi nó chứa và chỉ chứa tính chất T. 2. Phương pháp chủ yếu giải bài toán tập hợp điểm. Để tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tính chất T ta làm như sau: Bước 1: Tìm cách giải: – Xác định các yếu tố cố định và không đổi. – Xác định các điều kiện của điểm M. – Dự đoán tập hợp điểm. Bước 2: Trình bày lời giải: – Phần thuận: Chứng minh điểm M có tính chất T thuộc hình H. – Giới hạn: Căn cứ vào các vị trí đặc biệt của điểm M, chứng tỏ điểm M chỉ thuộc vào hình H, hoặc một phần B của hình H (nếu được). – Phần đảo: Chứng minh mọi điểm thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn) có tính chất T. Thường làm như sau: + Lấy điểm M thuộc hình H (quỹ tích đã được giới hạn), giả sử tính chất T gồm n điều kiện. + Dựng một hình để chứng minh M có tính chất T sao cho M thoả mãn n − 1 điều kiện trong tính chất T và chứng minh M có thoả mãn điều kiện còn lại. – Kết luận:Tập hợp điểm M là hình H. Nêu rõ hình dạng và cách xác định hình H. Chú ý: – Việc tìm ra mối liên hệ giữa các yếu tố cố định, không đổi với yếu tố chuyển động là khâu chủ yếu giúp ta giải quyết bài toán tập hợp điểm. – Nếu bài toán chỉ hỏi “Điểm M chuyển động trên đường nào?” thì ta chỉ trình bày phần thuận, phàn giới hạn và phàn kết luận mà không cần không chứng minh phần đảo. – Giải bài toán tập hợp điểm thường là tìm cách đưa về tập hợp điểm cơ bản đã học. – Để khỏi vẽ hình lại khi chứng minh phần đảo tên các điểm trong phần đảo nên giữ nguyên như phần thuận. 3. Một số tập hợp điểm cơ bản. a) Tập hợp điểm là đường trung trực hoặc một phần đường trung trực. Định lí: Tập hợp các điểm M cách đều hai điểm phân biệt A, B cố định là đường trung trực d của đoạn thẳng AB. b) Tập hợp điểm là tia phân giác. Định lí: Tập hợp các điểm nằm trong góc xOy (khác góc bẹt) và cách đều hai cạnhcủa góc là tia phân giác của góc đó. Hệ quả: Tập hợp các điểm M cách đều hai đường thẳngcắt nhau xOx’ và yOy’ là bốn tia phân giác của bốn góc tạo thành, bốn tia này tạo thành hai đường thẳng vuông góc với nhau tại giao điểm O của hai đường thẳng đó. c) Tập hợp điểm là đường thẳng song song. Định lý 1: Tập hợp các điểm M cách đường thẳng h cho trước một khoảng bằng a không đổi là hai đường thẳng song song với đường thắng đã cho và cách đường thẳng đó bằng a. Định lí 2: Tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm cách đều hai đường thẳng đã cho. d) Tập hợp điểm là đường tròn, một phần của đường tròn, cung chứa góc. + Tập hợp các điểm M cách điểm O cho trước một khoảng không đổi r là đường tròn tâm O bán kính r. + Tập hợp các điểm nhìn đoạn thẳng cố định AB dưới góc 900 là đường tròn đường kính AB. + Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc AMB có số đo không đổi là α là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB. II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN IV. HƯỚNG DẪN GIẢI

Nguồn: toanmath.com

Đọc Sách

Chuyên đề số chính phương
Số chính phương được định nghĩa là số bằng bình phương của một số nguyên. Cũng như số nguyên tố, thì bài toán về số chính phương cũng là dạng bài thường gặp trong chương trình Toán học lớp 6 – 7, dành cho học sinh giỏi Toán bậc THCS. Nhằm giúp các em có thể tìm hiểu các dạng toán về số chính phương, THCS. giới thiệu đến các em tài liệu chuyên đề số chính phương. Tài liệu gồm 63 trang giới thiệu 04 dạng toán về số chính phương thường gặp, cùng với đó là phương pháp giải, ví dụ mẫu và bài tập vận dụng (có lời giải chi tiết). Khái quát nội dung tài liệu chuyên đề số chính phương: A. Kiến thức cần nhớ 1. Định nghĩa số chính phương. 2. Một số tính chất cần nhớ. B. Các dạng toán thường gặp Dạng 1 : Chứng minh một số là số chính phương, hoặc là tổng nhiều số chính phương. Cơ sở phương pháp: Để chứng minh một số n là số là số chính phương ta thường dựa vào định nghĩa. [ads] Dạng 2 : Chứng minh một số không là số chính phương. Cơ sở phương pháp: Để chứng minh n không là số chính phương, tùy vào từng bài toán ta có thể sử dụng các cách sau: + Phương pháp 1. Chứng minh n không thể viết được dưới dạng một bình phương một số nguyên. + Phương pháp 2. Chứng minh k2 < n < (k + 1)2 với k là số nguyên. + Phương pháp 3. Chứng minh n có tận cùng là 2; 3; 7; 8. + Phương pháp 4. Chứng minh n có dạng 4k + 2; 4k + 3. + Phương pháp 5. Chứng minh n có dạng 3k + 2. + Phương pháp 6. Chứng minh n chia hết cho số nguyên tố p mà không chia hết cho p2. Dạng 3 : Điều kiện để một số là số chính phương. Cơ sở phương pháp: Chúng ta thường sử dụng các phương pháp sau: + Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa. + Phương pháp 2: Sử dụng tính chẵn, lẻ. + Phương pháp 3: Sử dụng tính chất chia hết và chia có dư. + Phương pháp 4: Sử dụng các tính chất. Dạng 4 : Tìm số chính phương. Cơ sở phương pháp: Dựa vào định nghĩa về số chính phương A = k2 với k là số nguyên và các yêu cầu của bài toán để tìm ra số chính phương thỏa bài toán.
Lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán
Bài toán bất đẳng thức, cực trị (tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất) luôn là bài toán khó nhất trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán, đây là bài toán nhằm chọn lọc học sinh giỏi – xuất sắc môn Toán vào các lớp chuyên Toán tại các trường THPT chuyên. Nhằm giúp các em học sinh lớp 9 có thể ôn tập bài toán bất đẳng thức và bài toán cực trị, THCS. giới thiệu đến các em tài liệu lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán, tài liệu được tổng hợp bởi tác giả Trịnh Bình. Trích dẫn nội dung tài liệu lời giải bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán: + Cho các số dương a, b, c dương thỏa mãn abc = a + b + c + 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1/√(a^2 + b^2) + 1/√(b^2 + c^2) + 1/√(c^2 + a^2) (TS10 / chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An / 2019 – 2020). + Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [0;2] thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 3. a) Chứng minh rằng: x^2 + y^2 + z^2 < 6. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x^3 + y^3 + z^3 – 3xyz (TS10 / chuyên TP. Hồ Chí Minh / 2019 – 2020). [ads] + Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: xy + yz + 4zx = 32. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x^2 + 16y^2 + 16z^2 (TS10 / chuyên Hòa Bình / 2019 – 2020). + Cho các số thực không âm a, b, c sao cho ab + bc + ca = 3 . Chứng minh rằng: 1/(a^2 + 2) + 1/(b^2 + 2) + 1/(c^2 + 2) ≤ 1 (TS10 / chuyên Phú Thọ / 2009 – 2010). + Giả sử x, y, z là những số thực thoả mãn điều kiện 0 ≤ x, y, z ≤ 2 và x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức M = x^4 + y^4 + z^4 + 12(1 – x)(1 – y)(1 – z) (TS10 / chuyên KHTN – Hà Nội / 2009 – 2010).
Ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong giải toán THCS
Tài liệu gồm 94 trang trình bày những ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong việc giải các bài toán về số học, tổ hợp, chứng minh bất đẳng thức … giúp bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán cấp THCS. Khái quát nội dung tài liệu ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong giải toán THCS: CHỦ ĐỀ 1 : CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG CÁC BÀI TOÁN TỔ HỢP, SỐ HỌC VÀ HÌNH HỌC. Lý thuyết : Nguyên lí Dirichlet, Nguyên lý Dirichlet cơ bản, Nguyên lý Dirichlet tổng quát, Nguyên lí Dirichlet mở rộng, Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp. Áp dụng : + Nguyên lí Dirichlet là một công cụ hiệu quả dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. + Nguyên lí Dirichlet cũng được áp dụng cho các bài toán của hình học. + Để sử dụng nguyên lý Dirichlet ta phải làm xuất hiện tình huống nhốt “thỏ” vào “chuồng” và thoả mãn các điều kiện: Số “thỏ” phải nhiều hơn số chuồng, “thỏ” phải được nhốt hết vào các “chuồng”, nhưng không bắt buộc chuồng nào cũng phải có thỏ. + Thường thì phương pháp Dirichlet được áp dụng kèm theo phương pháp phản chứng. Ngoài ra nó còn có thể áp dụng với các nguyên lý khác. [ads] CHỦ ĐỀ 2 : ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ DIRICHLET TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. + Việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet giúp chúng ta chứng minh được một số bài toán bất đẳng thức một cách rất gọn gàng và độc đáo. + Từ nguyên lí Dirichlet có một mệnh đề có ý nghĩa hết sức quan trọng: Trong 3 số thực bất kì a, b, c bao giờ cũng tìm được hai số cùng dấu. Đây là một mệnh đề rất quan trọng, bởi khi ta đã chọn được “điểm rơi” (tức là đẳng thức của bài toán) thì ta có thể áp dụng mệnh đề trên để chứng minh bất đẳng thức.
Chuyên đề quan hệ chia hết trên tập hợp số
Tài liệu gồm 56 trang được biên soạn bởi tác giả Trịnh Bình giới thiệu phương pháp giải và bài tập các dạng toán về quan hệ chia hết trên tập hợp số, tài liệu phù hợp với học sinh lớp 6 muốn tìm hiểu chuyên sâu và ôn thi học sinh giỏi môn Toán bậc Trung học Cơ sở. Các dạng toán được đề cập trong tài liệu chuyên đề quan hệ chia hết trên tập hợp số: Dạng toán 1 : Chứng minh tích các số nguyên liên tiếp chia hết cho một số cho trước. Đây là dạng toán cơ bản thường gặp khi chúng ta mới bắt đầu học chứng minh các bài toán chia hết. Sử dụng các tính chất cơ bản như: tích hai số nguyên liên tiếp chia hết cho 2, tích của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 6. Chúng ta vận dụng linh hoạt các tích chất cơ bản này để giải các bài toán chứng  minh chia hết về tích các số nguyên liên tiếp. Dạng toán 2 : Phân tích thành nhân tử. Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta phân thích A(x) = D(x).p, còn nếu không thể đưa ra phân tích như vậy ta có thể viết p = kq. + Nếu (k;q) = 1, ta chứng minh A(x) chia hết cho k và q. + Nếu (k;q) khác 1, ta viết A(x) = B(x).C(x) rồi chứng minh B(x) chia hết cho k và C(x) chia hết cho q. Dạng toán 3 : Sử dụng phương pháp tách tổng. Để chứng minh A(x) chia hết cho p ta biết đổi A(x) thành tổng các hạng tử rồi chứng minh mỗi hạng tử chia hết cho p. Dạng toán 4 : Sử dụng hằng đẳng thức. [ads] Dạng toán 5 : Sử dụng phương pháp xét số dư. Để chứng minh A(n) chia hết cho p ta xét số n có dạng n = kp + r với r thuộc {0; 1; 2 … p – 1}. Dạng toán 6 : Sử dụng phương pháp phản chứng. Để chứng minh A(x) không chia hết cho n, ta giả sử A(x) chia hết cho n sau đó dùng lập luận để chỉ ra mâu thuẩn để chỉ ra điều giả sử là sai. Dạng toán 7 : Sử dụng phương pháp quy nạp. Để kiểm tra mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n ≥ p ta làm như sau: + Kiểm tra mệnh đề đúng với n = p. + Giả sử mệnh đề đúng mới n = k chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1. Dạng toán 8 : Sử dụng nguyên lý Dirichlet. Áp dụng nguyên lý Dirichle vào bài toán chia hết như sau: “Trong m = kn + 1 số có ít nhất n + 1 số chia hết cho k có cùng số dư”. Dạng toán 9 : Xét đồng dư. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của đồng dư thức để giải bài toán chia hết. Dạng toán 10 : Sử dụng tính chất chia hết và áp dụng định lý Fermat nhỏ. Sử dụng tính chất chia hết và áp dụng định lý Fermat nhỏ để giải toán. Dạng toán 11 : Các bài toán quan hệ chia hết với đa thức. Dạng toán 12 : Tìm điều kiện biến để chia hết.