giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán cấp Trung học Phổ thông năm học 2025 – 2026. Kỳ thi được diễn ra trong hai ngày 25 và 26 tháng 12 năm 2025. Trích dẫn Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2025 – 2026 : + Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường phải quan sát những vật thể xa xôi như sao chổi, tiểu hành tinh và các hiện tượng thiên văn khác. Nhằm mục đích đó, các nhà khoa học thiết kế và phóng các vệ tinh quan sát lên quỹ đạo quanh Trái Đất. Hầu hết các vệ tinh không chuyển động theo vòng tròn hoàn hảo mà có quỹ đạo là một đường elip, với Trái Đất nằm ở một trong hai tiêu điểm của elip. Khi một vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip, khoảng cách giữa nó và vật thể cần quan sát liên tục thay đổi. Thông thường, nếu khoảng cách từ vệ tinh đến vật thể cần quan sát là ngắn nhất thì các thiết bị cảm biến trên vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu tốt nhất. Cho một vệ tinh (được xem như là một chất điểm) chuyển động xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz (đơn vị trên mỗi trục Ox, Oy, Oz đều bằng 6400 km), giả sử vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) theo quỹ đạo có phương trình là x2 + 3y2 = 17. Vệ tinh cần quan sát một vật thể (cũng được xem như là một chất điểm) chuyển động trong không gian. Theo các kết quả nghiên cứu, khi vật thể chuyển động đến vị trí A(2;16/√3;8) thì việc quan sát vật thể đó là tốt nhất. Hãy xác định tọa độ điểm C (trên quỹ đạo elip của vệ tinh) trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz nói trên sao cho khoảng cách từ vị trí C đến vị trí A là ngắn nhất. + Trong một trò chơi, nhân vật Mario cần di chuyển về phía trước bằng các lần nhảy xa với độ dài mỗi lần là 1 mét hoặc a mét hoặc b mét, trong đó a và b là các số nguyên dương thỏa mãn 1 < a < b. Cho trước một chặng đường cần di chuyển có độ dài là m mét, với m là một số nguyên dương, Mario luôn sử dụng chiến thuật nhảy về phía trước như sau: trước tiên Mario sẽ thực hiện các lần nhảy với độ dài mỗi lần b mét (với số lần tối đa có thể sao cho chưa vượt quá đích); nếu vẫn chưa tới đích, Mario sẽ thực hiện tiếp các lần nhảy với độ dài mỗi lần a mét (với số lần nhảy tối đa sao cho chưa vượt quá đích), rồi cuối cùng là chuyển sang các lần nhảy với mỗi bước nhảy là 1 mét. Mario sẽ thắng nếu không tồn tại cách di chuyển nào đến đích có số lần nhảy ít hơn so với chiến thuật trên. Trong trường hợp ngược lại, Mario sẽ thua. a) Hãy chỉ ra rằng với (a,b) = (6,14), tồn tại một số m để Mario thua trong trò chơi này. b) Tìm số lượng tất cả các cặp (a,b), với 1 < a < b ≤ 100, để Mario luôn thắng theo chiến thuật trên với mọi số nguyên dương m.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 năm học 2025 – 2026 nhóm 05 trường THPT, tỉnh Ninh Bình. Đề thi gồm 20 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn + 06 câu trắc nghiệm đúng sai + 06 câu trắc nghiệm trả lời ngắn, thời gian làm bài 90 phút.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề khảo sát chất lượng chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 đợt 1 năm học 2025 – 2026 trường THPT Nguyễn Du, tỉnh Hưng Yên. Đề thi gồm 20 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn + 06 câu trắc nghiệm đúng sai + 06 câu trắc nghiệm trả lời ngắn, thời gian làm bài 90 phút.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán 12 năm học 2025 – 2026 cụm trường THPT số 11, tỉnh Ninh Bình. Đề thi gồm 20 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn + 06 câu trắc nghiệm đúng sai + 06 câu trắc nghiệm trả lời ngắn, thời gian làm bài 90 phút. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 13 tháng 12 năm 2025. Trích dẫn Đề khảo sát HSG Toán 12 năm 2025 – 2026 cụm THPT số 11 – Ninh Bình : + Một công ty cần thuê xe để chở 120 người và 15 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe A và B, trong đó loại xe A có 12 chiếc và loại xe B có 10 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 5 triệu đồng, một chiếc xe loại B cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại A có thể chở tối đa 20 người và 1 tấn hàng; mỗi xe loại B có thể chở tối đa 10 người và 2 tấn hàng. Chi phí (triệu đồng) bỏ ra là ít nhất mà vẫn chở được hết hàng và người là? + Có hai phác đồ điều trị A và B cho một loại bệnh. Phác đồ A có xác suất chữa khỏi bệnh là 60% và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là 5%. Phác đồ B có xác suất chữa khỏi bệnh là 70% và xác suất gây tác dụng phụ nghiêm trọng là 10%. Một bệnh nhân được điều trị ngẫu nhiên bằng một trong hai phác đồ (xác suất chọn mỗi phác đồ là 50%). a) Nếu biết bệnh nhân này gặp tác dụng phụ nghiêm trọng thì xác suất bệnh nhân đã được điều trị bằng phác đồ B lớn hơn 0,65. b) Xác suất để bệnh nhân bị tác dụng phụ nghiêm trọng là 0,075. e) Biết rằng trong mỗi phác đồ điều trị thì biến cố “bệnh nhân được chữa khỏi bệnh” và biến cố “bệnh nhân không bị tác dụng phụ nghiêm trọng” là độc lập với nhau. Xác suất bệnh nhân khỏi bệnh và không bị tác dụng phụ nghiêm trọng là 0,6. d) Xác suất bệnh nhân điều trị bằng phác đồ A và được chữa khỏi bệnh là 0,6. + Quan sát hai mã cổ phiếu X và Y. Người ta nhận thấy trong mỗi phiên giao dịch, nếu cổ phiếu Y không giảm thì cổ phiếu X giảm giá với xác suất 3/5. Ngược lại, nếu cổ phiếu X không giảm thì cố phiếu Y giảm giá với xác suất 2/3. Hơn nữa, xác suất để cả hai cổ phiếu X và Y giảm giá trong cùng một phiên giao dịch là 1/10. Hỏi xác suất để có ít nhất một trong hai cổ phiếu giảm giá trong một phiên giao dịch là bao nhiêu?