giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi khảo sát chất lượng và chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán 12 lần 1 năm học 2025 – 2026 khối trường THPT Triệu Sơn I-II-III-IV-V và THPT Lê Lợi, tỉnh Thanh Hóa. Đề thi gồm 20 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn + 06 câu trắc nghiệm đúng sai + 06 câu trắc nghiệm trả lời ngắn, thời gian làm bài 90 phút, có đáp án và lời giải chi tiết. Trích dẫn Đề chọn HSG Toán 12 lần 1 năm 2025 – 2026 khối THPT Triệu Sơn & Lê Lợi – Thanh Hóa : + Cho một lưới ô vuông gồm 16 ô vuông nhỏ, mỗi ô vuông nhỏ có kích thước 1 x 1 mét như hình vẽ bên. Con kiến thứ nhất ở vị trí A muốn di chuyển lên vị trí B, con kiến thứ hai ở vị trí B muốn di chuyển xuống vị trí A. Biết rằng con kiến thứ nhất chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên phải hoặc lên trên, con kiến thứ hai chỉ có thể di chuyển ngẫu nhiên về phía bên trái hoặc xuống dưới (theo cạnh của các hình vuông). Hai con kiến xuất phát cùng một thời điểm và có cùng vận tốc di chuyển là 1 mét/phút. Xác suất để hai con kiến không gặp nhau trên đường đi là a/b với a, b ∈ N* và a/b tối giản. Giá trị a + b là? + Bạn A tìm mua được các miếng dán cùng loại, cùng màu và có cùng kích thước 1m x 3m dùng để trang trí kín một mảng tường hình chữ nhật có kích thước là 3×n (với n là số nguyên dương, các kích thước có đơn vị đo là mét). Mỗi miếng dán có thể dán ngang hoặc dọc sao cho đảm bảo không có miếng dán nào bị cắt và không có miếng dán nào chồng lên nhau. (Miếng dán và mảng tường cần trang trí có dạng như hình vẽ). Mảng tường hình chữ nhật kích thước 3×n. a) Nếu mảng tường có kích thước 3m x 6m thì bạn A sẽ có tất cả 4 cách dán. b) Mảng tường thực tế bạn A cần dán có kích thước 3m x 14m, khi đó bạn A có tất cả 129 cách dán. c) Nếu mảng tường có kích thước 3m x 3m thì bạn A phải dùng 3 miếng dán và chỉ có đúng 2 cách dán là xoay dọc cả 3 miếng hoặc xoay ngang cả 3 miếng. d) Nếu mảng tường có kích thước 3m x 2m thì bạn A phải dùng hai miếng dán và chỉ có duy nhất 1 cách dán là xoay dọc cả hai miếng dán. + Thời gian học Toán ở nhà mỗi ngày của các bạn tổ 1 và tổ 2 lớp 10A được cho trong bảng sau: Thời gian (phút) [0;30) [30;60) [60;90) [90;120). Số học sinh tổ 1 4 1 3 2. Số học sinh tổ 2 2 5 3 0. a) Tổng số học sinh học Toán ở nhà mỗi ngày dưới 30 phút của 2 tổ là 6. b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian học Toán ở nhà mỗi ngày của tổ 1 là 60. c) Nếu dựa vào khoảng biến thiên thì thời gian học Toán ở nhà mỗi ngày của các bạn tổ 2 phân tán hơn thời gian học Toán ở nhà mỗi ngày của các bạn tổ 1. d) Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm ở tổ 2 là 48.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề kiểm tra chất lượng đội tuyển môn Toán năm học 2025 – 2026 trường THPT Thọ Xuân 5, tỉnh Thanh Hóa. Đề thi gồm 20 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn + 06 câu trắc nghiệm đúng sai + 06 câu trắc nghiệm trả lời ngắn, thời gian làm bài 90 phút, có đáp án và lời giải chi tiết. Trích dẫn Đề KTCL đội tuyển Toán năm 2025 – 2026 trường THPT Thọ Xuân 5 – Thanh Hóa : + Một thùng chứa nhiên liệu gồm phần ở giữa là một hình trụ có chiều dài h mét (h > 0) và hai đầu là các nửa hình cầu bán kính r (r > 0) (Hình vẽ). Biết rằng thể tích của thùng chứa là 144000π m3. Để sơn mặt ngoài của phần hình cầu cần 20000 đồng cho 1m2, còn sơn mặt ngoài cho phần hình trụ cần 10000 đồng cho 1m2. Để chi phí cho việc sơn diện tích mặt ngoài thùng chứa (bao gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích hai nửa hình cầu) là nhỏ nhất thì r bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần chục của đơn vị mét), biết rằng bán kính r không được vượt quá 50m? + Tại một trường THPT, để khảo sát năng lực học môn Toán của hai lớp 12E và 12F, giáo viên đã cho học sinh ở hai lớp làm bài kiểm tra khảo sát đầu năm, thống kê điểm của học sinh được cho trong bảng sau: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a) Dựa vào điểm trung bình môn Toán ta đánh giá được lớp 12E học tốt môn Toán hơn lớp 12F. b) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu thống kê điểm của lớp 12F nhỏ hơn 2,9. c) Điểm thi có số học sinh đạt được nhiều nhất ở lớp 12E nhỏ hơn ở lớp 12F. d) Dựa vào độ lệch chuẩn của mẫu số liệu thống kê ghép nhóm, ta thấy rằng lớp 12E học đều hơn lớp 12F. + Có hai vợ chồng đã nghĩ ra một trò chơi đầy trí tuệ như sau: Họ sử dụng hai ly nước giống hệt nhau, mỗi ly chứa tối đa 240 ml nước. Ban đầu, người vợ có một ly nước đầy và người chồng có một cái ly rỗng. Bước thứ nhất người vợ rót 1/2 lượng nước trong ly của mình sang ly của người chồng; bước tiếp theo người chồng lại rót 1/3 lượng nước trong ly của mình sang cho ly người vợ. Quá trình này cứ tiếp tục mà mỗi lần rót thì mẫu số được cộng thêm 1; trò chơi này hấp dẫn đến mức cả hai người thực hiện đến bước thứ 100 thì dừng lại, hỏi lượng nước trong ly người chồng khi đó là bao nhiêu ml? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, giả sử trong quá trình rót nước không có giọt nước nào tràn ra ngoài).

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2025 – 2026 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Khánh Hòa. Kỳ thi được diễn ra trong hai ngày 23 và 24 tháng 09 năm 2025. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết. Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Khánh Hòa : + Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Kẻ ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Đường thẳng EF cắt (O) tại hai điểm M, N sao cho E nằm giữa F và N. Đường thẳng BC cắt EF tại P. Đường thẳng đi qua D và song song với EF cắt AB, AC, CF lần lượt tại Q, R, S. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác DEF và DMN. a) Chứng minh ba đường tròn (PQR), (DEF), (DMN) cùng đi qua một điểm. b) Chứng minh hai đường thẳng IJ và AD song song với nhau. c) Chứng minh D là trung điểm của đoạn thẳng QS. + Cho đa thức P(x) = 5(x – 4)^2.(x – 6) + 1. a) Chứng minh P(x) có ba nghiệm thực phân biệt. b) Gọi ba nghiệm thực phân biệt của P(x) là a, b, c. Chứng minh a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác đó. + Tìm tất cả các hàm số f: R+ → R+ thỏa mãn f(x)f(yf(x)) = f(x + y) với mọi x, y > 0.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi chọn học sinh giỏi thành phố và chọn đội tuyển học sinh giỏi dự thi Quốc gia môn Toán 12 THPT năm học 2025 – 2026 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hà Nội (Bảng B). Kỳ thi được diễn ra vào ngày 22 và ngày 23 tháng 09 năm 2025. Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Hà Nội : + Cho P(x) là đa thức với hệ số nguyên có bậc bằng 2026 thỏa mãn: P(x) không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng nếu r là một nghiệm thực của P(x) thì 5r + 8 không là nghiệm của P(x). + Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi CD là đường kính của đường tròn (O). Đường thẳng đối xứng với đường thẳng BA qua đường thẳng BD cắt đường thẳng CD tại điểm E. Đường thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABE tại điểm thứ hai F. a) Chứng minh tam giác FBC là một tam giác cân. b) Gọi H là giao điểm của đường thẳng BD và đường thẳng EA, I là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng EB. Gọi K là giao điểm của đường thẳng HI và đường thẳng AB, J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE. Tia đối của tia OJ cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác CDK tại điểm L. Chứng minh OL = 2OJ. + Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có đường cao AD. Trên đoạn thẳng AD lấy điểm K (K khác A và D), trên đoạn thẳng DC lấy điểm M (M khác D và C). Tia BK cắt đoạn thẳng AC tại điểm E và tia CK cắt đoạn thẳng AB tại điểm F. Đường thẳng EF cắt các đường thẳng AM, MK và AD lần lượt tại các điểm G, I và H. Đường trung trực của đoạn thẳng HD cắt đường thẳng EF tại điểm T. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp của các tam giác AEF, AIG và THD cùng đi qua một điểm.