THCS. giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 8 đề kiểm tra cuối học kỳ 1 môn Toán 8 năm học 2022 – 2023 trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam; đề thi được biên soạn theo cấu trúc 100% tự luận, thời gian học sinh làm bài thi là 90 phút; kỳ thi được diễn ra vào sáng thứ Tư ngày 14 tháng 12 năm 2022. Trích dẫn Đề thi học kỳ 1 Toán 8 năm 2022 – 2023 trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam : + Bác An muốn tính khoảng cách giữa hai vị trí P, Q ở hai bên bờ cái ao cá. Để làm được điều đó, bác An đã chọn ba vị trí A, B, C, thực hiện đo đạc và vẽ mô phỏng như hình vẽ dưới. Em hãy giúp bác An tính khoảng cách giữa hai điểm P và Q. + Cho hình chữ nhật ABCD (AB > 2BC), trên cạnh AB lấy M sao cho BC = AM, trên tia CB lấy N sao cho CN = BM, CM cắt AN tại P, trên CD lấy điểm E sao cho CE = CB. 1) Chứng minh rằng tứ giác AMCE là một hình bình hành. 2) Chứng minh rằng các tam giác ADE và ECN bằng nhau. 3) Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại điểm F. Chứng minh rằng tứ giác AENF là hình vuông. 4) Gọi K là giao điểm của EN với PC, L là giao điểm của EF với AN. Tính tỷ số diện tích của hai tam giác NKL và NEP. + Với các số thực không âm a, b thỏa mãn a + b = 2, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thúc P = (a + 1)(2b + 1).