giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán THPT cấp tỉnh năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Ninh Bình; kỳ thi được diễn ra vào ngày 06/10/2023 và 07/10/2023. Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Ninh Bình : + Cho dãy số (xn) được xác định như sau, trong đó a là một số thực dương cho trước. a) Chứng minh rằng dãy (xn) có giới hạn hữu hạn. b) Giả sử lim xn = c. Tìm số thực a để dãy (xn) xác định bởi yn có giới hạn hữu hạn khác 0. + Cho tam giác ABC nhọn, không cần nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi T là giao điểm thứ hai của đường thẳng CH với đường tròn (O); I là giao điểm của AT với BC; J là giao điểm của AD với EF. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HC, HE. Lấy điểm P trên EF sao cho MP song song với DE, điểm Q trên BJ sao cho EQ song song với NP. a) Chứng minh rằng ba điểm I, E, Q thẳng hàng. b) Gọi X là giao điểm của BH với CO, Y là giao điểm của CH với BO, Z là trực tâm tam giác DEF. Chứng minh rằng OZ chia đôi đoạn XY. + Cho tập hợp S = {1; 2; 3; …; 2048}. a) Chứng minh khẳng định sau: “Với mọi tập con X của tập S có số phần tử bằng 15, luôn tồn tại hai tập con khác rỗng rời nhau A, B của tập X sao cho i = j”. Khẳng định này còn đúng không khi số phần tử của tập X bằng 12? b) Tập con Y khác rỗng của S thoả mãn điều kiện: với mọi y thuộc Y thì 15y không thuộc Y. Tìm số phần tử lớn nhất có thể của tập Y.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề kiểm tra học sinh giỏi môn Toán 12 lần 1 năm học 2023 – 2024 trường THPT Lý Thái Tổ và trường THPT Gia Bình số 1, tỉnh Bắc Ninh; đề thi hình thức 100% trắc nghiệm với 50 câu hỏi và bài toán, thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian giao đề); đề thi có đáp án mã đề 101 102 103 104. Trích dẫn Đề HSG Toán 12 lần 1 năm 2023 – 2024 THPT Lý Thái Tổ & Gia Bình 1 – Bắc Ninh : + Đội tuyển học sinh giỏi môn Toán gồm 10 học sinh gồm 6 nam trong đó có Quang và 4 nữ trong đócó Huyền được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ ra mắt đội tuyển học sinh giỏi. Xác suất để xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là? + Cho tam giác ABC vuông tại A AB cm 6 AC cm 3. M là một điểm di động trên cạnh BC (M khác B C); gọi H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Cho hình chữ nhật AHMK quay xung quanh cạnh AH khối trụ được tạo thành có thể tích lớn nhất là? + Cho tứ diện ABCD 1111 có thể tích 1 V 156. Tứ diện ABCD 2222 có các đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện ABCD 1111 (như hình vẽ). Tứ diện ABCD nnnn 1111 có các đỉnh là trọng tâm các mặt của tứ diện ABC nnnn D (n 1 n). Gọi Vn là thể tích của tứ diện ABCD nnnn. Tính 1 2 VVV n.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 12 THPT chuyên năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Vĩnh Phúc. Trích dẫn Đề học sinh giỏi Toán 12 chuyên năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc : + Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1. Kí hiệu G(n) là ước nguyên tố lớn nhất của n. a) Chứng minh rằng nếu n + 1 là lũy thừa của 2 và n chia hết cho 11 thì G(n) > 11. b) Hai số nguyên tố phân biệt p, q được gọi là xa lạ nếu không tồn tại số nguyên dương n lớn hơn 1 để hai tập hợp {p;q} và {G(n);G(n + 1)} trùng nhau. Chứng minh rằng nếu p < q là hai số nguyên tố lẻ sao cho ordp2 = ordq2 thì 2 và p là hai số xa lạ và có vô hạn cặp số nguyên tố (p;9) sao cho p < q và hai số p và q là xa lạ. + Cho tam giác ABC nhọn và cân tại đỉnh A. Gọi D và E lần lượt là trung điểm của CB và CA, M là trung điểm của DE. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt cạnh AB tại điểm N. Tiếp tuyến tại M và N của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt nhau tại P. a) Đường thẳng AM cắt tiếp tuyến tại E của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM ở điểm Q. Chứng minh rằng P, D, Q thẳng hàng. b) Chứng minh rằng điểm P nằm trên đường thẳng BC. + Cho số nguyên dương n > 1, số nguyên dương k được gọi là n-good nếu với mọi cách tô màu mỗi số nguyên dương 1; 2; …; k bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ thì ta luôn chọn được n số cùng màu (không nhất thiết phân biệt) sao cho tổng của n số này cũng nằm trong tập hợp {1; 2; …; k} và cùng màu với n số vừa chọn. a) Tìm số 2-good nhỏ nhất. b) Tìm số 2024-good nhỏ nhất.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn học sinh vào đội dự tuyển thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai. Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Đồng Nai : + Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = 1 và un + 1 = 3un + 10 với mọi số nguyên dương n. a) Tìm công thức tổng quát của dãy số (un) và tìm số dư trong phép chia up cho p với p là số nguyên tố lớn hơn 3. b) Chứng minh với số nguyên dương t > 1 tồn tại số nguyên dương s > t sao cho số ước nguyên tố của us lớn hơn 2 lần số ước nguyên tố của ut. + Cho 2024 viên bi được sắp xếp thành một hàng ngang. Tính số các cách đặt 29 chiếc thẻ vào giữa các viên bi thỏa mãn ở giữa hai viên bi kề nhau chỉ có nhiều nhất một chiếc thẻ và các viên bi đã cho được chia thành 30 phần mà mỗi phần có ít nhất 9 viên bi. + Cho 2024 viên bi giống nhau được đặt vào các đỉnh của hình đa giác đều có 2024 cạnh nội tiếp đường tròn (O), mỗi đỉnh chỉ có một viên bi. Tính số các cách đặt 29 chiếc thẻ giống nhau vào trung điểm các cạnh của đa giác đã cho thỏa mãn tại mỗi trung điểm có nhiều nhất một chiếc thẻ và các viên bi đã cho được chia thành 29 phần, mà mỗi phần có ít nhất 9 viên bi (biết hai cách đặt thẻ được coi là như nhau nếu tồn tại một phép quay quanh tâm O biến cách chia này thành cách chia kia).