Đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ gồm 2 đề thi dành cho 2 ngày thi: ngày 14/09/2018 và ngày 15/09/2018, ngày thi thứ nhất gồm 4 bài toán, ngày thi thứ 2 gồm 3 bài toán, mỗi đề học sinh giải trong thời gian 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết và thang chấm điểm. Trích dẫn đề thi chọn đội tuyển dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Phú Thọ : + Cho tứ giác nội tiếp ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại P. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác APB, CPD cắt cạnh BC theo thứ tự tại E, F. Gọi I, J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABE, CDF, hai đoạn thẳng BJ và CI cắt nhau tại Q. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AIB cắt đoạn thẳng BD tại M. Đường tròn ngoại tiếp tam giác DJC cắt đoạn thẳng AC tại N. Chứng minh BIJC là tứ giác nội tiếp. Chứng minh ba đường thẳng IM, JN, PQ đồng quy. [ads] + Chứng minh rằng: Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp là hợp số. Tồn tại 2018 số nguyên dương liên tiếp chứa đúng 2 số nguyên tố. + Một bảng ô vuông ABCD kích thước 2018 x 2018 gồm 2018^2 ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được điền bởi một trong ba số -1, 0,1. Một cách điền số được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo AC được điền số -1 và mỗi cặp ô đối xứng qua AC được điền cùng một số 0 hoặc 1. Chứng minh rằng với một cách điền số đối xứng bất kì, luôn tồn tại hai hàng có các số trong mỗi ô vuông đơn vị lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải là a1, a2, …, a2018 ở hàng thứ nhất, b1, b2, …, b2018 ở hàng thứ hai sao cho S = a1b1 + a2b2 + … + a2018b2018 là một số chẵn.

Nhằm tuyển chọn các em học sinh lớp 12 giỏi môn Toán để bồi dưỡng tham dự kỳ thi HSG Quốc gia năm học 2018 – 2019, sở Giáo dục và Đào tạo Bến Tre tiến hành tổ chức kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề được soạn theo hình thức tự luận với 4 bài toán, thời gian làm bài 180 phút, đề thi có lời giải chi tiết và thang chấm điểm. Trích dẫn đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bến Tre : + Dịp hè năm học 2017 – 2018, hiệu trưởng trường A tổ chức cho 3n (n là số nguyên dương) học sinh tham gia cắm trại. Mỗi ngày, hiệu trưởng phân công 3 học sinh làm vệ sinh khu vực cắm trại. Khi đợt cắm trại kết thúc, hiệu trưởng nhận thấy rằng: với 2 học sinh bất kỳ có đúng một lần được phân công làm vệ sinh trong cùng một ngày. Khi n= 3, hãy tìm số cách sắp xếp học sinh thỏa yêu cầu trên. Chứng minh rằng n là số lẻ. + Cho tam giác ABC có góc A bằng 60 độ, AB > AC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, H là giao điểm hai đường cao BE và CF (E ∈ AC, F ∈ AB). Trên các cạnh BH, HF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. Tính giá trị của (MH + NH)/OH.

Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn gồm 1 trang với 5 bài toán tự luận, thí sinh làm bài trong thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề), kỳ thi được tổ chức ngày 24 tháng 08 năm 2018, đề thi có lời giải chi tiết. Trích dẫn đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán 12 năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn : + Trên mặt phẳng cho 2n^2 (n ≥ 2) đường thẳng sao cho không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Các đường thẳng này chia mặt phẳng ra thành các miền rời nhau. Trong các miền đó, gọi F là tập tất cả các miền đa giác có diện tích hữu hạn. Chứng minh rằng có thể tô n đường thẳng trong số 2n^2 đường thẳng đã cho bằng màu xanh sao cho không có miền nào trong tập F có tất cả các cạnh màu xanh. [ads] + Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cung nhỏ BC, AD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OM, ON. Gọi K là điểm đối xứng với O qua M. Chứng minh rằng tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn. Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên AB, AC. Chứng minh rằng AK ⊥ PQ. + Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên, bậc 2 và hệ số bậc 2 bằng 1 thỏa mãn tồn tại đa thức Q(x) có hệ số nguyên sao cho P(x).Q(x) là đa thức có tất cả các hệ số đều là ±1. Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) có nghiệm thực x0 thì |x0| < 2. Tìm tất cả các đa thức P(x).

Đề thi chọn đội tuyển môn Toán năm 2018 – 2019 trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội gồm 2 bài thi, mỗi đề gồm 4 bài toán tự luận, thí sinh có 180 phút để làm bài, kỳ thi diễn ra vào ngày 10/09/2018 và 11/09/2018. Thông qua kỳ thi này, trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội sẽ tuyển chọn được các em có năng khiếu môn Toán để đưa vào đội tuyển, tiếp tục bồi dưỡng và tạo điều kiện để các em thử sức ở các kỳ thi cấp cao hơn.