giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kiên Giang; kỳ thi được diễn ra trong hai ngày 30 và 31 tháng 08 năm 2022. Trích dẫn đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Kiên Giang : + Cho dãy đa thức (Pn(x)) xác định bởi: P0(x) = x3 – 4x và Pn+1(x) = Pn(1 + x).Pn(1 – x) – 1 với mọi số tự nhiên n và mọi x thuộc R. a) Tính P2022(2). b) Chứng minh rằng, tồn tại một đa thức Q(x) với hệ số nguyên sao cho P2022(x) = x2023.Q(x) với mọi x thuộc R. + Cho số nguyên n >= 2. Xét m là một số nguyên dương sao cho tồn tại một tập hợp T thoả mãn đồng thời các tính chất sau đây: Mỗi phần tử của T là một tập con m phần tử của tập {1; 2; 3; …; mn). Mỗi cặp phần tử của T có không quá 1 phần tử chung. Mỗi phần tử của tập {1; 2; 3; …; mn} thuộc đúng hai phần tử của T. Tìm giá trị lớn nhất có thể của m. + Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt AB và AC tương ứng tại Ab và Ac; đường tròn ngoại tiếp tam giác COA cắt BA và BC tương ứng tại Ba và Bc; và đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB cắt CA và CB tương ứng tại Ca và Cb (các điểm Ab, Ac, Ba, Bc, Ca, Cb không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Các cặp đường thẳng (BcBa;CaCb), (CaCb;AbAc), (AbAc;BcBa) lần lượt có các giao điểm là X, Y, Z. Chứng minh rằng: a) Các điểm O, Ba, Ca thẳng hàng. b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác XYZ tiếp xúc với (O).

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi khảo sát đội dự tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, tỉnh Điện Biên; kỳ thi được diễn ra vào thứ Sáu ngày 26 tháng 08 năm 2022. Trích dẫn đề khảo sát đội tuyển HSGQG Toán năm 2022 – 2023 chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên : + Cho tam giác nhọn ABC không cân tại A, có trực tâm H. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AC, cắt đường tròn đường kính AC tại hai điểm D và E (D nằm giữa E và B) đồng thời cắt đường thẳng AC tại K. Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt đường tròn đường kính AB tại hai điểm F và G (F nằm giữa C và G) đồng thời cắt đường thẳng AB tại L. a) Chứng minh rằng bốn điểm D, F, E, G cùng nằm trên một đường tròn. b) Giả sử KL giao BC tại I. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AI và cắt đường thẳng LC tại J. Chứng minh rằng H là trung điểm đoạn thẳng CJ. + Cho 2022 số nguyên dương a1, a2, …, a2022 bất kỳ. Có tồn tại hay không vô hạn số nguyên dương n >= 2022 thỏa mãn dãy 2022 số đều là hợp số không? + Cho bảng ô vuông kích thước 100×100 mà mỗi ô được điền một trong các ký tự A, B, C, D sao cho trên mỗi hàng, mỗi cột của bảng thì số lượng ký tự từng loại đúng bằng 25. Ta gọi hai ô thuộc cùng hàng (không nhất thiết kề nhau) nhưng được điền khác ký tự là “cặp tốt”, còn hình chữ nhật có các cạnh song song với bảng và bốn đỉnh của nó được điền đủ bốn ký tự A, B, C, D là “bảng tốt”. a) Hỏi trong các cách điền ở trên, có bao nhiêu cách điền mà mỗi bảng ô vuông 1×4, 4×1 và 2×2 đều có chứa đủ các ký tự A, B, C, D? b) Chứng minh rằng với mọi cách điền thỏa mãn đề bài thì trên bảng ô vuông đã cho: i) Luôn có 2 cột của bảng mà từ đó có thể chọn ra được 76 cặp tốt. ii) Luôn có một bảng tốt.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh An Giang, kỳ thi được diễn ra vào ngày 20 tháng 08 năm 2022.

giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề kiểm tra đội dự tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 trường THPT chuyên Hùng Vương, tỉnh Bình Dương; kỳ thi được diễn ra trong hai ngày: 05/08/2022 và 06/08/2022. Trích dẫn đề kiểm tra đội tuyển Toán năm 2022 trường chuyên Hùng Vương – Bình Dương : + Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O); B, C cố định và A di động trên đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. a) Gọi P là giao điểm của FD và BE; Q là giao điểm của FC và DE; K là hình chiếu của D lên PQ. Chứng minh rằng BKD = DKC. b) Kẻ đường kính AL của đường tròn (O); tia LH cắt đường tròn (O) tại T. Gọi M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác TEB và EF (M # E); N là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác TFC và EF (N # F). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TMN luôn đi qua một điểm cố định. + Cho bàn cờ 9 x 9 như hình vẽ bên. Có bao nhiêu cách xếp 8 quân xe vào bàn cờ sao cho cả 8 quân xe đều nằm trên các ô cùng màu và không có hai quân xe nào nằm cùng hàng hoặc cùng cột. + Cho số nguyên tố p và số nguyên n > 1 thỏa mãn: p – 1 chia hết cho n và n3 – 1 chia hết cho p. Chứng minh 4p – 3 là số chính phương.