0912 699 269

Công ty phần mềm ứng dụng Hà Nội - HanoiSoft

Thư viện nhà trường - Phiên bản 3.0

Liên hệ: 0912 699 269  Đăng nhập  Đăng ký

Các bài toán về phần nguyên trong số học

Tài liệu gồm 33 trang, được trích đoạn từ cuốn sách Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, hướng dẫn giải các bài toán về phần nguyên trong số học, giúp học sinh ôn tập thi học sinh giỏi Toán bậc THCS và luyện thi vào lớp 10 môn Toán. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa. + Phần nguyên của số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, kí hiệu là [x]. + Phần lẻ của số thực x là hiệu của x với phần nguyên của nó, kí hiệu là {x}. 2. Tính chất. B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1 : Tìm phần nguyên của một số hoặc một biểu thức. Để tính giá trị một biểu thức chứa phần nguyên, ta cần sử dụng các tính chất của phần nguyên, kết hợp với các kĩ thuật tính toán khác đặc biệt là phương pháp “kẹp”. Dạng 2 : Chứng minh một đẳng thức chứa phần nguyên. Chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên thực chất có thể coi là chứng minh các tính chất của phần nguyên. Để chứng minh các hệ thức chứa phần nguyên ta phải sử dụng các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết, kết hợp với các kĩ thuật đại số và số học. Dạng 3 : Phương trình chứa phần nguyên. 1. Phương trình có dạng [f(x)] = a (a thuộc Z). 2. Phương trình có dạng [f(x)] = g(x). 3. Phương trình có dạng [f(x)] = [g(x)]. 4. Phương trình chứa nhiều dấu phần nguyên. Sử dụng tính chất của phần nguyên, phân tích đa thức thành nhân tử, đặt ẩn phụ (nếu cần) để đưa về phương trình ít phần nguyên hơn. 5. Phương trình dạng hỗi hợp. Có những phương trình chứa của phần nguyên và phần dư, hoặc phần nguyên với các phép toán khác (lũy thừa, căn thức …) ta xếp chúng vào dạng phương trình hỗn hợp. Giải chúng nói chung là khó, cần kết hợp nhiều suy luận và kĩ thuật khác nhau, như dùng định nghĩa, chia khoảng, sử dụng tính chất số nguyên của [x] hoặc tính chất 0 ≤ {x} < 1, các tính chất x nguyên khi và chỉ khi {x} = 0 hoặc [x] = x, các phương pháp của đại số như đặt ẩn phụ, biến đổi tương đương hệ phương trình. Dạng 4 : Bất phương trình chứa phần nguyên. Khi giải bất phương trình có chứa dấu phần nguyên, ta thường đặt biểu thức [f(x)] = t (t nguyên) để chuyển về giải bất phương trình không còn chứa dấu phần nguyên, rồi vận dụng định nghĩa và tính chất của phần nguyên để tìm ra nghiệm của bất phương trình. Dạng 5 : Phần nguyên trong chứng minh một số dạng toán số học. Phần nguyên được ứng dụng khá nhiều trong giải các bài toán số học về số tận cùng, chia hết, số nguyên tố … chúng ta cùng đến với các ví dụ cụ thể. Dạng 6 : Chứng minh bất đẳng thức có chứa phần nguyên. Để chứng minh các bất đẳng thức phần nguyên ta phải sử dụng linh hoạt các tính chất đã được nêu trong phần lý thuyết. C. BÀI TẬP ÁP DỤNG D. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ

Nguồn: toanmath.com

Đọc Sách

Các bài toán số học tuyển chọn từ các đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán
Tài liệu gồm 62 trang, được biên soạn bởi nhóm tác giả Mathpiad − Tạp chí và tư liệu toán học: Phan Quang Đạt − Nguyễn Nhất Huy − Dương Quỳnh Châu, tổng hợp các bài toán số học tuyển chọn từ các đề tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh tham khảo trong quá trình ôn tập chuẩn bị cho kì thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán. Chương I : Một số kiến thức sử dụng trong tài liệu. 1 Các định nghĩa ngoài sách giáo khoa. + Số chính phương là số có thể biểu diễn dưới dạng bình phương của một số tự nhiên. + Số lập phương là số có thể biểu diễn dưới dạng lập phương của một số nguyên. 2 Các kí hiệu, quy ước ngoài sách giáo khoa. + Kí hiệu a | b dùng thay cho mệnh đề “a là ước của b”, và đọc là “a chia hết b”. + Kí hiệu (a,b) dùng để chỉ ước chung lớn nhất của a và b. Đôi lúc, nó còn dùng để chỉ cặp số (a,b), vì thế cần phân biệt rõ. + Kí hiệu a ≡ b (mod m) dùng thay cho mệnh đề “a và b có cùng số dư khi chia cho m” và đọc là “a đồng dư với b theo modulo m”. 3 Các hằng đẳng thức mở rộng. 4 Các tính chất về ước chung lớn nhất. + Với các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn c | ab và (a,c) = 1, ta có thể suy ra c | b. + Với các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn ab = c2 và (a,c) = 1, ta có |a| và |b| là hai số chính phương. + Với các số nguyên a, b, c khác 0 thỏa mãn ab = c3 và (a,c) = 1, ta có a và b là hai số lập phương. 5 Các tính chất về đồng dư thức và chia hết. (a) Tính chia hết của tổng, tích các số nguyên liên tiếp. + Tổng của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n. + Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n!, ở đây n! là tích của tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n. (b) Nếu a ≡ b (mod m). (c) Một số chính phương bất kì chỉ có thể: + Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 3. + Đồng dư với 0 hoặc 1 theo modulo 4. + Đồng dư với 0,1 hoặc 4 theo modulo 8. (d) Định lý Fermat nhỏ: Cho p là số nguyên tố và a là số nguyên dương thỏa mãn a không chia hết cho p, khi đó a^ p − 1 ≡ 1 (mod p). 6 Bổ đề kẹp. Giữa hai lũy thừa số mũ n liên tiếp, không tồn tại một lũy thừa cơ số n nào. Hệ quả: với mọi số nguyên a: + Không có số chính phương nào nằm giữa a2 và (a + 1)2. + Số chính phương duy nhất nằm giữa a2 và (a + 2)2 là (a + 1)2. + Có đúng k − 1 số chính phương nằm giữa a2 và (a + k)2. 7 Bổ đề về nghiệm nguyên của phương trình bậc hai. Nếu phương trình bậc hai với hệ số nguyên ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm nguyên (không nhất thiết phân biệt) thì ∆ = b2 −4ac là số chính phương. Chương II : Giới thiệu một số bài toán số học trong đề thi vào lớp 10 chuyên Toán. Chương III : Lời giải tham khảo.
Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Tài liệu gồm 78 trang, hướng dẫn một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức, đây thường là bài toán khó nhất trong các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. I. Bất đẳng thức Côsi. + Dạng 1. Dạng tổng sang tích. + Dạng 2. Dạng tích sang tổng, nhân bằng số thích hợp. + Dạng 3. Qua một bước biến đổi rồi sử dụng bất đẳng thức Côsi. + Dạng 4. Ghép cặp đôi. + Dạng 5. Dự đoán kết quả rồi tách thích hợp. + Dạng 6. Kết hợp đặt ẩn phụ và dự đoán kết quả. + Dạng 7. Tìm lại điều kiện của ẩn. II. Bất đẳng thức Bunhia. III. Phương pháp biến đổi tương đương. + Dạng 1. Đưa về bình phương. + Dạng 2. Tạo ra bậc hai bằng cách nhân hai bậc một. + Dạng 3. Tạo ra ab + bc + ca. + Dạng 4. Sử dụng tính chất trong ba số bất kì luôn tồn tại hai số có tích không âm. + Dạng 5. Sử dụng tính chất của một số bị chặn từ 0 đến 1. + Dạng 6. Dự đoán kết quả rồi xét hiệu. Hệ thống bài tập sử dụng trong chủ đề. 1. Bất đẳng thức Côsi. 2. Bất đẳng thức Bunhia. 3. Phương pháp biến đổi tương đương.
Các bài toán sử dụng nguyên lý bất biến trong giải toán
Tài liệu gồm 16 trang, được trích đoạn từ cuốn sách Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, hướng dẫn giải các bài toán sử dụng nguyên lý bất biến trong giải toán, giúp học sinh ôn tập thi học sinh giỏi Toán bậc THCS và luyện thi vào lớp 10 môn Toán. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nguyên lý bất biến. Cho a, b, c là những số thực ta xét tổng S = a + b + c. Nếu ta đổi chỗ a cho b, b cho c, c cho a, thì tổng S luôn luôn chỉ là một (không đổi). Tổng này không thay đổi đối với thứ tự phép cộng. Dù a, b, c có thay đổi thứ tự như thế nào chăng nữa S vẫn không thay đổi, nghĩa là S bất biến đối với việc thay đổi các biến khác. Trong thực tế cũng như trong toán học, rất nhiều vấn đề liên quan đến một số đối tượng nghiên cứu lại bất biến đối với sự thay đổi của nhiều đối tượng khác. 2. Các bước áp dụng nguyên lý bất biến khi giải toán. Để giải toán được bằng đại lượng bất biến ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Ta phải phát hiện ra những đại lượng bất biến trong bài toán. Bước này tương đối khó nếu ta không luyện tập thường xuyên. + Bước 2: Xử lý tiếp đại lượng bất biến để tìm ra các điểm mâu thuẫn. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG C. BÀI TẬP ÁP DỤNG D. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ
Các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn
Tài liệu gồm 20 trang, được trích đoạn từ cuốn sách Phân dạng và phương pháp giải toán số học và tổ hợp của tác giả Nguyễn Quốc Bảo, hướng dẫn giải các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn, giúp học sinh ôn tập thi học sinh giỏi Toán bậc THCS và luyện thi vào lớp 10 môn Toán. A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Nguyên lý cực hạn. Nguyên lí cực hạn được phát biểu đơn giản như sau: Nguyên lí 1: Trong một tập hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất. Nguyên lí 2: Trong một tập khác rỗng các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé nhất. Nhờ nguyên lý này ta có thể xét các phần tử mà một đại lượng nào đó có giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, chẳng hạn: + Xét đoạn thẳng lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn đoạn thẳng. + Xét góc lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn góc. + Xét đa giác có diện tích hoặc chu vi nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) trong một số hữu hạn đa giác. + Xét khoảng cách lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một số hữu hạn khoảng cách giữa hai điểm hoặc khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. + Xét các điểm là đầu mút của một đoạn thẳng, xét các điểm ở phía trái nhất hoặc phải nhất của một đoạn thẳng (giả thiết là đoạn thẳng nằm ngang). Nguyên lí cực hạn thường được sử dụng kết hợp với các phương pháp khác, đặc biệt là phương pháp phản chứng, được vận dụng trong trong trường hợp tập các giá trị cần khảo sát chỉ tập hợp hữu hạn (nguyên lí 1) hoặc có thể có vô hạn nhưng tồn tại một phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất (nguyên lí 2). 2. Các bước áp dụng nguyên lý cực hạn khi giải toán. Khi vận dụng nguyên lí này, ta phải tiến hành các bước sau: + Bước 1. Chứng minh rằng trong tất cả các giá trị cần khảo sát luôn tồn tại giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất. + Bước 2. Xét bài toán trong trường hợp riêng khi nó nhận giá trị này (nhỏ nhất hoặc lớn nhất). + Bước 3. Chỉ ra một mâu thuẫn, chỉ ra một giá trị còn nhỏ hơn (hay lớn hơn) giá trị ta đang khảo sát. Theo nguyên lí của phương pháp phản chứng, ta sẽ suy ra điều phải chứng minh. B. BÀI TẬP VẬN DỤNG C. HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ